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题型：证明题题类：难易度：困难

湖南省益阳市沅江市新湾镇中学2024-2025学年八年级上学期开学数学试题

综合与实践课上，同学们开展了以“折叠”为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）、动手实践

如图1，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，点A落在 $\text{[math]}$ 边上的M处，折痕为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的形状为______，四边形 $\text{[math]}$ 的形状为______；

（2）、探索发现

如图2，将图1中的四边形 $\text{[math]}$ 剪下，取 $\text{[math]}$ 边上一点E，使 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．

求证： $\text{[math]}$ ．

（3）、反思提升

如图3，将图2中的 $\text{[math]}$ 剪下，折叠 $\text{[math]}$ 使点M落在直线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ，折痕分别交 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 于点H、G．若 $\text{[math]}$ 是直角三角形，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

如图，在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形，图中的△ABC为格点三角形，它的三边a，b，c的大小关系是（）

下列计算中，正确的是（）

把一张长方形纸条按如图方式折叠，BD为折痕，重合部分是什么形状?请说明理由.

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则 $\text{[math]}$ 的最大值是{#blank#}1{#/blank#}.

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△AOB绕点A旋转，得到△ACD，点D在x轴正半轴上，则点C的坐标是{#blank#}1{#/blank#}.

现有斜边相等的一副三角板，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .某学习小组利用这副三角板进行数学探究时发现：若这副三角板按如图①或图②方式摆放，连结PC，则PA、PB与PC之间存在一定的数量关系.

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