- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

河北省石家庄市赵县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．

（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB²+CD²＝AD²+BC² ．

（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．

①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；

②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝ $\text{[math]}$ ，则S_△_ABC＝．

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（0，﹣1），点C（m，0）是x轴上的一个动点．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点E从C点出发向终点B运动，速度为1cm/秒，运动时间为t秒，作EF∥AB，点P是点C关于FE的对称点，连接AP，当△AFP恰好是直角三角形时，t的值为{#blank#}1{#/blank#}

如图，每个方格都是边长为1的小正方形，则AB＋BC＝{#blank#}1{#/blank#}．

某学习小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求一次二项式的最值；他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究.下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：

关于最值问题的探究
素材1	“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元(未知数)，将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程.例如：当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 可以看作关于 $\text{[math]}$ 的一元一次方程.但若把 $\text{[math]}$ 看成“主元”， $\text{[math]}$ 看作常数，则原方程可化为： $\text{[math]}$ ，这就是一个关于 $\text{[math]}$ 的一元一次方程了.
素材2	对于一个关于 $\text{[math]}$ 的二次三项式 $\text{[math]}$ ，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令 $\text{[math]}$ ，然后移项可得： $\text{[math]}$ ，再利用根的判别式来确定 $\text{[math]}$ 的取值范围，这一方法称为判别式法.
问题解决
任务1	感受新知：用判别式法求 $\text{[math]}$ 的最小值.
任务2	探索新知：若实数x、y满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值. 对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 代入原式得 ▲ ；将新得到的等式看作关于字母 ▲ (填x，y，k)的一元一次方程，利用判别式可得 $\text{[math]}$ 的最大值为 ▲ .
任务3	应用新知：如图，在三角形ABC中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大a时，求此时 $\text{[math]}$ 的值.