- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：困难

湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的截线，截得四边形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 的“幸福线”．

（1）、已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的“幸福线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）、如图2，若 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边的“幸福线"，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）、在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图3过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ 的“幸福线” $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 面积最大时，求 $\text{[math]}$ 的正切值．