- 二一组卷

题型：填空题题类：难易度：普通

浙江省杭州市滨江区2024年中考数学二模试卷

如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为 $\text{[math]}$ ．若露在墙壁外面的钢管的长度 $\text{[math]}$ 米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度 $\text{[math]}$ 米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是米．

举一反三

体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，水流喷出的高度 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 之间的关系式是 $\text{[math]}$ ，那么圆形水池的半径至少为{#blank#}1{#/blank#}米时，才能使喷出的水流不至于落在池外.

如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用 $\text{[math]}$ 表示，点A，B分别在x轴和y轴上，且 $\text{[math]}$ ．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用 $\text{[math]}$ 表示．

根据以下素材，探索完成任务．

如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1	我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，另一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，其横截面有2根支架 $\text{[math]}$ ，相关数据如图2所示，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
素材2	已知大棚有200根长为 $\text{[math]}$ 的支架和200根长为 $\text{[math]}$ 的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1	确定大棚形状	在图2中以点O为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	尝试改造方案	当 $\text{[math]}$ 米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3	拟定最优方案	只考虑经费情况下，求出 $\text{[math]}$ 的最大值．

根据以下素材，探索完成任务．

如何设计喷泉喷头的升降方案？

素材1

如图1，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线。记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下：

x（米）	0	2	3	4
y（米）	1	2	1.75	1

素材2

公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．

问题解决

任务1

确定喷泉形状

结合素材1，求y关于x的表达式．

任务2

探究喷头升降方案

为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．

【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率 $\text{[math]}$ ， s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．

【数学建模】

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．

【探索发现】

根据以下素材，探索完成任务．

素材1	某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 组成，立柱高为 $\text{[math]}$ ，顶棚最高点距离地面 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．
素材2	为提高灌溉效率，学校在 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器 $\text{[math]}$ ，从喷水口 $\text{[math]}$ 喷出的水流可以看成抛物线，其形状与 $\text{[math]}$ 的图象相同， $\text{[math]}$ ，此时水流刚好喷到立柱的端点 $\text{[math]}$ 处．
问题解决
任务1	确定顶棚的形状	以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2	探索喷水的高度	问 $\text{[math]}$ 处喷出的水流在距离 $\text{[math]}$ 点水平距离为多少米时达到最高．

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