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题型：综合题题类：真题难易度：困难

江苏省镇江市2021年中考数学试卷

如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”.若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线.

（1）、【活动】

小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O₁ ， O₂所在直线是该L图形的面积平分线.请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线.（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）

（2）、【思考】

如图3，直线O₁O₂是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ（填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线.

（3）、【应用】

在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6.

如图4，CD＝AF＝1.

①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；

②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ▲ .

（4）、设 $\text{[math]}$ ＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围.

举一反三

下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）

下列图形中是中心对称图形的是（）

下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ ，垂足为C，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E.

在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ （只保留作图痕迹）．

已知：在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

证明：∵ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

∴______，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ______ $\text{[math]}$ ______，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴______，

同理可得： $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：

如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么______．

已知：如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则不正确的结论是（）

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