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题型：实践探究题题类：真题难易度：困难

内蒙古赤峰市2021年中考数学试卷

数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的 $\text{[math]}$ 的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）、【问题发现】填空：

小明研究了α=60°时，如图1，求出了 $\text{[math]}$ 的值和β的度数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

小红研究了α=90°时，如图2，求出了 $\text{[math]}$ 的值和β的度数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

【类比探究】

他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 $\text{[math]}$ 的值和β的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\text{[math]}$ (用含m、n的式子表示)； $\text{[math]}$ (用含α的式子表示)．

（2）、求出 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数．

举一反三

如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为{#blank#}1{#/blank#}度．

如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高13米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了侧得电线杆的高度，数学兴趣小组的同学进行了如下测量

某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为3米，落在地面上的影子BF的长为8米，而电信杆落在围墙上的影子GH的长度为 $\text{[math]}$ 米，落在地面上的银子DH的长为6米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度是{#blank#}1{#/blank#}米

如图，已知矩形ABCD，AB=4，AD=2，E为AB的中点，连接DE与AC交于点F，则CF的长等于（）

已知抛物线y＝x²+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的中线，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 度得到线段 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

如图，在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论是{#blank#}1{#/blank#}．（只填写序号）

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