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题型：综合题题类：模拟题难易度：普通

北京市房山区2021年中考数学一模试卷

已知： $\text{[math]}$ 为锐角三角形， $\text{[math]}$ ．

求作：菱形 $\text{[math]}$ ．

作法：如图，

①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点M ，交 $\text{[math]}$ 于点N；

②分别以点M ， N为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 的内部相交于点E ，作射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O；

③以点O为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径作弧，与射线 $\text{[math]}$ 交于点D ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；四边形 $\text{[math]}$ 就是所求作的菱形．

（1）、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）、完成下面的证明．

证明：∵ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

∵ $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 是菱形（）（填推理的依据）．

举一反三

已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；其中假命题有 ( )

如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F分别是AB，CD的中点，M是BC上一动点，AM，DM分别交EF于点G，H，连接CH．

（1）试判断GH是否为定值，并证明你的结论；

（2）当点M为BC的中点时，求证：四边形GMCH是平行四边形；

（3）试探究：在（2）的条件下，当a，b满足什么数量关系时，四边形GMCH是菱形？（不必证明，直接写出结论）

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．

顺次连接矩形四边中点所得的四边形是（）

如图，在正方形方格纸中，线段AB的两个端点和点P都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形．

综合与实践

问题情境：

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，点B落在点E处，连接 $\text{[math]}$ ．

独立思考：

（1）在图1中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为__________．

实践探究：

（2）在图1中，请你判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；

问题解决：

（3）如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，点B落在点E处，连接 $\text{[math]}$ ．请判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

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