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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

浙江省绍兴市第一初级中学教育集团2021届九年级下学期数学3月月考试卷

定义：如果一个四边形能被一条直线分割成一个平行四边形和一个等腰三角形，那么称这个四边形为平等四边形，这条分割线为平等线.

（1）、如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=2，∠B=30°，若四边形ABCD为平等四边形，直接写出BC边可能的长；

（2）、如图2，AD为四边形EBCD的平等线，且BC=ED，求证：BD²－BC²=AB·BE；

（3）、如图3，在（2）的条件下，作平等四边形EBCD的外接圆，连结AC，若∠BAC=∠BDE，那么BD与BC有何数量关系？并说明理由.

举一反三

已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）米．

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则下列说法中错误的是（）

如图，等边三角形ABC中， $\text{[math]}$ ，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，则AE的长为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，已知，矩形ABCD中，F是对角线BD上一点，以F为圆心，FB为半径作圆与边AD相切于E，边AB与圆F交于另一点G.

如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A，B重合），连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是（）

①∠DCF= $\text{[math]}$ ∠BCD；②EF=CF；③ $\text{[math]}$ ；④∠DFE=4∠AEF

如图，已知 $\text{[math]}$ ，点 A， E， B， D 在同一直线上， A C 与 F D 相交于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ . 请补全证明过程，并在括号里写上理由.

证明： $\text{[math]}$ ，

∴∠FED= ▲ =90°

∵AE=DB，

∵AE+ ▲ = ▲ +BD，

即AB=DE.

在Rt△ABC与Rt△DEF中，

$\text{[math]}$

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（ ▲ ）

∴∠A= ▲

∴GA=GD（ ▲ ）

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