- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

河北省衡水市景县第二中学2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ：等等都是勾股数．

（1）、如果 $\text{[math]}$ 是一组勾股数，即满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为正整数）也是一组勾股数．如； $\text{[math]}$ 是一组勾股数，则也是一组勾股数；

（2）、另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出 $\text{[math]}$ 公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的 $\text{[math]}$ 是一组勾股数；

（3）、值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正整数， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数．

（4）、观察 $\text{[math]}$ ；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 $\text{[math]}$ 起就没有间断过，并且勾为 $\text{[math]}$ 时股 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ ；勾 $\text{[math]}$ 为时，股 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ ；

请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：

①如果勾为7，则股 $\text{[math]}$ ；弦 $\text{[math]}$ ；

②如果用 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 为奇数）表示勾，请用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示股和弦，则股 $\text{[math]}$ ；弦 $\text{[math]}$ ；

③观察 $\text{[math]}$ ；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 $\text{[math]}$ 起也没有间断过．则 $\text{[math]}$ ；请你直接用 $\text{[math]}$ 为偶数且 $\text{[math]}$ ）的代数式表示直角三角形的另一条直角边；和弦的长．