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题型：阅读理解题类：常考题难易度：困难

甘肃省张掖市甘州区大成中学2020-2021学年九年级上学期数学第三次月考试卷

阅读下列材料，完成相应的任务

数学活动课上，老师提出如下问题：

如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少.

小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究：

小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，根据勾股定理，可得AP+DP＝ $\text{[math]}$ .但没有办法继续求解.

小明：利用轴对称作图，如图②，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长.

由△A′BP∽△DCP，得 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$

所以BP＝ $\text{[math]}$ .

过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝10.

所以当BP＝ $\text{[math]}$ 时，AP+DP有最小值，最小值为10.

任务：

（1）、类比探究：对于函数y＝ $\text{[math]}$ ，当x＝时，y有最小值，最小值为.

（2）、应用拓展：如图③，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD＝3，BC＝5.连接AB，AC.求△ABC周长的最小值.

举一反三

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是{#blank#}1{#/blank#}．

△ABC中，∠BAC=90°AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则CD的长={#blank#}1{#/blank#}。

已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积是{#blank#}1{#/blank#}．

正方形CEDF的顶点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，AC上．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC₁∥OC，交AB与点C₁ ，然后过C₁点继续作直线D₁C₁∥DC，交x轴于点D₁ ，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S₁ ， △DC₁D₁的面积为S₂ ，依此类推，后面的三角形面积分别是S₃ ， S₄…，那么S₁={#blank#}1{#/blank#}，若S=S₁+S₂+S₃+…+S_n ，当n无限大时，S的值无限接近于{#blank#}2{#/blank#}．

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边中点．若菱形 $\text{[math]}$ 的面积为24， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为( )

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