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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

浙江省余姚市2019-2020学年八年级上学期数学期末考试试卷

定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”.如图1在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是“和谐三角形”.

（1）、等边三角形一定是“和谐三角形”，是命题（填“真”或“假”）.

（2）、若 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是“和谐三角形”，求 $\text{[math]}$ .

（3）、如图2，在等边三角形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上各取一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的高，若 $\text{[math]}$ 是“和谐三角形”，且 $\text{[math]}$ .

①求证： $\text{[math]}$ .

②连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，那么线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由.

举一反三

在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x＋2交x轴于点A，交y轴于点B，点C在y轴正半轴上，AC＝4 $\text{[math]}$ ．

等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 位于直线 $\text{[math]}$ 的同侧， $\text{[math]}$ 是等边三角形.

如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．则 $\text{[math]}$ 长度的最大值为{#blank#}1{#/blank#}.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是边 $\text{[math]}$ 上的点，过点D作 $\text{[math]}$ 交BC于点F，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；②点D为 $\text{[math]}$ 的中点；③ $\text{[math]}$ 是等边三角形；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；⑤若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．其中结论正确的序号为（）

如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点D、E分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点F.

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AB边上运动，△CDB沿着CD折叠得到△CDB^' ，直线CB^'与直线AB相交于E点。

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