- 二一组卷

题型：综合题题类：真题难易度：普通

浙江省嘉兴市2019年中考数学试卷

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

（1）、温故：如图1，在△ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求正方形 $\text{[math]}$ 的边长．

（2）、操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上任取一点 $\text{[math]}$ ，画正方形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 在△ $\text{[math]}$ 内，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点N，画 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，得到四边形P $\text{[math]}$ ．小波把线段 $\text{[math]}$ 称为“波利亚线”．

推理：证明图2中的四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

（3）、拓展：在(2)的条件下，于波利亚线 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ (如图3)．当 $\text{[math]}$ 时，猜想∠ $\text{[math]}$ 的度数，并尝试证明．

举一反三

如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　）