- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：普通

浙教版2019中考数学复习专题之圆综合题

问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是 $\text{[math]}$ 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG

∵M是 $\text{[math]}$ 的中点，

∴MA＝MC

……

（1）、请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）、实践应用：

①如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是 $\text{[math]}$ 的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为；

②如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为 $\text{[math]}$ 上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4 $\text{[math]}$ +2，BC＝2，请求出AC的长．

举一反三

如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B，说明ED=EF．

解：∵∠DEC=∠B+∠BDE （{#blank#}1{#/blank#}），

又∵∠DEF=∠B（已知），

∴∠{#blank#}2{#/blank#} =∠{#blank#}3{#/blank#}（等式性质）．

在△EBD与△FCE中，

∠{#blank#}4{#/blank#} =∠{#blank#}5{#/blank#}（已证），

{#blank#}6{#/blank#} ={#blank#}7{#/blank#}（已知），

∠B=∠C（已知），

∴△EBD≌△FCE（{#blank#}8{#/blank#}）．

∴ED=EF （{#blank#}9{#/blank#}）．

如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．

求证：BD＝BC.

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