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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

河南省郑州市2018届九年级上学期数学期末考试试卷

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．

（1）、如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．

（2）、如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）、如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．

举一反三

如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．

在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连结BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，画出一个与 $\text{[math]}$ 全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出{#blank#}1{#/blank#}个符合题意的三角形(不包括 $\text{[math]}$ )?并画出其中4个。

读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DB上，且∠BAE=∠CDE，求证：AB=CD

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证明AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．

图(1)：延长DE到F使得EF=DE

图(2)：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F

图(3)：过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.

如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 三点作 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，连接 $\text{[math]}$ ．

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