湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴解答题汇编（1）

修改时间：2025-03-10 浏览次数：2 类型：二轮复习编辑

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一、综合题

1. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）在二次函数图象上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 $\text{[math]}$ 是对称轴 $\text{[math]}$ 上一点，且点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是锐角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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2. 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

（2）点 $\text{[math]}$ 为第三象限内抛物线上一点，作直线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）设直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证：无论 $\text{[math]}$ 为何值，平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 上总存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为直角．

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3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴相交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；

②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.

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4. 已知二次函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，且该二次函数的图象过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）如图所示，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，该二次函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上且在第二象限内，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，连接 $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴正半轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ．
②当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 的半径长为线段 $\text{[math]}$ 的长度的 $\text{[math]}$ 倍，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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5. 如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；

（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；

（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

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6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右侧），点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的一动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，与拋物线交于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

（3）抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为平面直角坐标系上一点，若以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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7. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

（1）求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．

（2）点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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8. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B，与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ ，过B、C两点作直线．

（1）求a的值．

（2）将直线 $\text{[math]}$ 向下平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，交抛物线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 $\text{[math]}$ 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）抛物线上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出直线 $\text{[math]}$ 的解析式；若不存在，请说明理由．

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9. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ .

（1）请直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大？并求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

（3）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，作 $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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10. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 的中点，延长 $\text{[math]}$ 至E，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）在如图1中，若 $\text{[math]}$ ，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作 $\text{[math]}$ 于F，设H是 $\text{[math]}$ 的中点，过点H作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于G，交 $\text{[math]}$ 于M．
求证：① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ．

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）如图2，取线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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12. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数）经过点 $\text{[math]}$ ，顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上的动点， $\text{[math]}$ 轴于H，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

（3）如图2，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标．

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13. 我们约定：若关于x的二次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 同时满足 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

（1）若关于x的二次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

（2）对于任意非零实数r，s，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 始终在关于x的函数 $\text{[math]}$ 的图像上运动，函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“美美与共”函数．
①求函数 $\text{[math]}$ 的图像的对称轴；
②函数 $\text{[math]}$ 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 $\text{[math]}$ 与它的“美美与共”函数 $\text{[math]}$ 的图像顶点分别为点A，点B，函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于不同两点E，F．当 $\text{[math]}$ 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

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14. 已知四个不同的点 $\text{[math]}$ 都在关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 是常数， $\text{[math]}$ 的图象上.

（1）当A，B两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 时，求代数式 $\text{[math]}$ 的值；

（2）当A，B两点的坐标满足 $\text{[math]}$ 时，请你判断此函数图象与 $\text{[math]}$ 轴的公共点的个数，并说明理由；

（3）当 $\text{[math]}$ 时，该函数图象与 $\text{[math]}$ 轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足： $\text{[math]}$ .请问是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注： $\text{[math]}$ 表示一条长度等于EF的 $\text{[math]}$ 倍的线段).

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15. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．

（1）请求出抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式．

（2）如图1，在 $\text{[math]}$ 轴上有一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 为坐标平面内一点，是否存在点 $\text{[math]}$ 使得四边形 $\text{[math]}$ 为正方形？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，将抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移2个单位，得到抛物线 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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16. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与x轴交于点A ，与抛物线 $\text{[math]}$ 交于B ， C两点（B在C的左边）．

（1）求A点的坐标；

（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为 $\text{[math]}$ 点，当以点A ， $\text{[math]}$ ， C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；

（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．点D为线段 $\text{[math]}$ 上的一动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，求 $\text{[math]}$ 周长的最小值；

（3）如图2，过动点D作 $\text{[math]}$ 交抛物线第一象限部分于点P，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

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18. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，交y轴于点C ．

（1）求b ， c的值．

（2）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点
①当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大？并求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
②过点P作 $\text{[math]}$ 轴，交 $\text{[math]}$ 于点E ，再过点P作 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于点F ，连接 $\text{[math]}$ ，问：是否存在点P ，使 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 如图（1），二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求二次函数的解析式和 $\text{[math]}$ 的值．

（2）在二次函数位于 $\text{[math]}$ 轴上方的图像上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图（2），作点 $\text{[math]}$ 关于原点 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，作以 $\text{[math]}$ 为直径的圆．点 $\text{[math]}$ 是圆在 $\text{[math]}$ 轴上方圆弧上的动点（点 $\text{[math]}$ 不与圆弧的端点 $\text{[math]}$ 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 移动到点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的对应线段为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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20. 【问题背景】
已知点 $\text{[math]}$ 是半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 上的定点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为锐角．

（1）【初步感知】
如图1，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ；

（2）【问题探究】
以线段 $\text{[math]}$ 为对角线作矩形 $\text{[math]}$ ，使得边 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．
①如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求证：无论 $\text{[math]}$ 在给定的范围内如何变化， $\text{[math]}$ 总成立：
②如图3，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，请补全图形，并求 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的值．

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