最新情境型（1）—广东省（人教版）数学九（上）期末复习

修改时间：2025-01-06 浏览次数：5 类型：复习试卷编辑

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一、一元二次方程

1. 2023年春节期间（1月20日至1月25日），圆通速递实行“春节不打烊”．某快递员在一线提供正常揽派服务，第一天揽件400件，第三天揽件442件，设该快递员揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 $\text{[math]}$ 的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是 $\text{[math]}$ 只，根据题意可列出的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 实验室的一个容器内盛有 $\text{[math]}$ 克食盐水，其中含盐 $\text{[math]}$ 克 $\text{[math]}$ 如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的 $\text{[math]}$ 倍 $\text{[math]}$ 晓华根据这一情景中的数量关系列出方程 $\text{[math]}$ ，则未知数 $\text{[math]}$ 表示的意义是（）

A . 增加的水量 B . 蒸发掉的水量 C . 加入的食盐量 D . 减少的食盐量

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4. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 以上都不对

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5. 有 $\text{[math]}$ 支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则 $\text{[math]}$ ．

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6. 如图，在一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为 $\text{[math]}$ ，那么道路的宽为 $\text{[math]}$ ．

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7. 2024年奥运会在巴黎顺利召开，奥运会吉祥物“弗里热”爆红.

（1）据统计某“弗里热”玩偶在某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件，问月平均增长率是多少?

（2）市场调查发现，某实体店“弗里热”玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售“弗里热”玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元?

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8. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务：

关于最值问题的探究
素材1	“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为： $\text{[math]}$ ．这就是一个关于a的一元一次方程了．
素材2	对于一个关于x的二次三项式 $\text{[math]}$ ，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令 $\text{[math]}$ ．然后移项可得： $\text{[math]}$ 再利用根的判别式 $\text{[math]}$ 来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1	感受新知：用判别式法求 $\text{[math]}$ 的最小值；
任务2	探索新知：若实数x、y满足 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 代入原式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得 $\text{[math]}$ 的最大值为__________；
任务3	应用新知：如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求此时b的值．

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9. 综合与实践．实践主题：黄金分割数．

（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，将线段分割成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两条线段 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值或线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值叫做黄金分割数．
若设线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为x，则 $\text{[math]}$ 可表示为 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为 $\text{[math]}$ _____________（结果保留根号）．

（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为 $\text{[math]}$ ，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．

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10. 如图，是一个用总长 $\text{[math]}$ 的木板制作的矩形置物架和它的简化图．已知：矩形置物架 $\text{[math]}$ 是由一个正方形 $\text{[math]}$ ，四个全等的矩形 $\text{[math]}$ 、矩形 $\text{[math]}$ 、矩形 $\text{[math]}$ 、矩形 $\text{[math]}$ ，两个全等的矩形 $\text{[math]}$ 、矩形 $\text{[math]}$ 组成的，设正方形的边长 $\text{[math]}$ ．

（1）则 $\text{[math]}$ ___________ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ___________ $\text{[math]}$ (用含x的代数式表示)；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 _____________ $\text{[math]}$ ；

（3）为了便于置放物品， $\text{[math]}$ 的高度不得超过 $\text{[math]}$ ，若矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求x的值．

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11. 阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 $\text{[math]}$ 为例，构造方法如下：
首先将方程 $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ ，然后画四个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 $\text{[math]}$ ，还可表示为四个矩形与一个边长为 $\text{[math]}$ 的小正方形面积之和，即 $\text{[math]}$ ．因此，可得新方程 $\text{[math]}$ ．因为 $\text{[math]}$ 表示边长，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 $\text{[math]}$ 的正确构图是______．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程 $\text{[math]}$ ，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如 $\text{[math]}$ 的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______，求得方程的正根为______．

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二、二次函数

12. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是 $\text{[math]}$ ，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（）m．

A . 6 B . 45 C . 35 D . 25

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13. 某航模组设计的火箭模型的升空高度 $\text{[math]}$ 与点火后飞行时间 $\text{[math]}$ 满足函数表达式 $\text{[math]}$ ．则点火后 $\text{[math]}$ 该火箭模型的升空高度为（）

A . 53 B . 47 C . 45 D . 44

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14. 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管 $\text{[math]}$ ，水从喷头 $\text{[math]}$ 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 距抛物线对称轴 $\text{[math]}$ ，则为使水不落到池外，水池半径最小为．

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15. 如图所示的坐标系，一位篮球运动员身高 $\text{[math]}$ ，在离篮圈水平距离 $\text{[math]}$ 处跳起投篮，这次跳投时，球在他头顶上方 $\text{[math]}$ 处出手，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为 $\text{[math]}$ 时，达到最大高度 $\text{[math]}$ ，然后准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为 $\text{[math]}$ ．球出手时，他跳离地面的高度为．

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16. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t² ．
（1）求小球飞行3s时的高度；
（2）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．

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17. 根据以下素材，探索完成任务．

素材1	某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 组成，立柱高为 $\text{[math]}$ ，顶棚最高点距离地面 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．
素材2	为提高灌溉效率，学校在 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器 $\text{[math]}$ ，从喷水口 $\text{[math]}$ 喷出的水流可以看成抛物线，其形状与 $\text{[math]}$ 的图象相同， $\text{[math]}$ ，此时水流刚好喷到立柱的端点 $\text{[math]}$ 处．
问题解决
任务1	确定顶棚的形状	以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2	探索喷水的高度	问 $\text{[math]}$ 处喷出的水流在距离 $\text{[math]}$ 点水平距离为多少米时达到最高．

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18. 根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽 $\text{[math]}$ 米时，桥洞顶部离水面距离 $\text{[math]}$ 米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH ，测得 $\text{[math]}$ 米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式 $\text{[math]}$ ．

（1）问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，CD落在第一象限的角平分线上．设点C为 $\text{[math]}$ ，
①点A的坐标为 ▲ ．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．

（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即 $\text{[math]}$ 米），此时货船能通过该桥洞吗?
若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物?（已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．）

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19. 课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：

（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 厘米，该水槽的横截面面积为 $\text{[math]}$ 厘米 $\text{[math]}$ ，请你写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式(不必写出 $\text{[math]}$ 的取值范围)，并求出当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若 $\text{[math]}$ ，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的 $\text{[math]}$ 的最大值比较大小．

（2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？

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20. 问题情境：小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A ， B ， C ， D ， E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

售价（元/盆）
日销售量（盆）
A
20
50
B
30
30
C
18
54
D
22
46
E
26
38
数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
____
____
____
____
____
日销售量（盆）
____
____
____
____
____

（1）模型建立：分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．

（2）拓广应用：根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？

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21. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：

【设计方案求碗里水面的宽度】
$\text{[math]}$ 素材一：	图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度 $\text{[math]}$ ，碗口宽 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，碗体 $\text{[math]}$ 呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度 $\text{[math]}$ ．
素材二：	如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面 $\text{[math]}$ 与碗口的夹角为 $\text{[math]}$ 时停止倾斜．
问题解决
问题1	如右图，以碗底 $\text{[math]}$ 的中点F为原点O，以 $\text{[math]}$ 为x轴， $\text{[math]}$ 的中垂线 $\text{[math]}$ 为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体 $\text{[math]}$ 的抛物线解析式；
问题2	根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求此时水面宽度 $\text{[math]}$ 的长；
问题3	如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度 $\text{[math]}$ ．