浙江省杭州市上城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

1. 下列事件是必然事件的是（）

A . 圆内接四边形对角和是 $\text{[math]}$ B . 九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C . 抛掷一枚硬币，正面朝上 D . 打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况

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2. 已知点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 由二次函数 $\text{[math]}$ 图象平移得到二次函数 $\text{[math]}$ 图象，下列哪种平移方式可以实现( )

A . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向上平移 $\text{[math]}$ 个单位 B . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向下平移 $\text{[math]}$ 个单位 C . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向上平移 $\text{[math]}$ 个单位 D . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向下平移 $\text{[math]}$ 个单位

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5. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n
100
150
200
800
1000
抽到“中奖”卡片的次数m
38
56
69
258
299
中奖的频率 $\text{[math]}$
0.38
0.373
0.345
0.323
0.299
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（　　）

A . 0.40 B . 0.35 C . 0.30 D . 0.25

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6. 如图，已知直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ( )

A . 4 B . 5 C . 7 D . 6

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7. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( )

A . B . C . D .

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9. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ( )

A . 2：3 B . 3：4 C . 4：5 D . 5：6

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10. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上有两点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ (其中 $\text{[math]}$ )，则( )

A . 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值为．

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12. 有 $\text{[math]}$ 张卡片，每张卡片上分别写有 $\text{[math]}$ 不同的自然数．任意抽取一张卡片，卡片上的数是 $\text{[math]}$ 的倍数的概率是．

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13. 如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若要使 $\text{[math]}$ ，可以添加条件．(只需写出一个条件即可)

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14. 已知二次函数 $\text{[math]}$ ，则此函数的顶点坐标是；若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，函数有最小值 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆弧， $\text{[math]}$ 是的弦 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．“会圆术”给出 $\text{[math]}$ 的弧长的近似值 $\text{[math]}$ 的计算公式： $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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16. 如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边 $\text{[math]}$ 是围墙，且 $\text{[math]}$ 的长不能超过 $\text{[math]}$ ，其余三边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 长的铁质栅栏．有下列结论：
① $\text{[math]}$ 的长可以为 $\text{[math]}$ ；
②当农场 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ 时，满足条件的 $\text{[math]}$ 的长只有一个值；
③农场 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过 $\text{[math]}$ ．
其中，正确结论的是．(只需填序号)

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17. 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，其中 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标和 $\text{[math]}$ 的值；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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18. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的点，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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19. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG=2．

（1）求正六边形ABCDEF的边长；

（2）求阴影部分的面积．

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20. 迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目．

（1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率．

（2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动(每人只能抽取一次)，盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率．

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21. 如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，点F，E分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）求证： $\text{[math]}$

（2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$

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22. 滑雪大跳台是冬奥会比赛项目之一，运动员的着陆点需在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间(如图2)，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分(如图1)．若甲运动员刚好落在基准点 $\text{[math]}$ ，到起跳台的水平距离为 $\text{[math]}$ 米，高度为 $\text{[math]}$ (为定值)．甲运动员的竖直高度 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ )与水平距离 $\text{[math]}$ (单位： $\text{[math]}$ )近似满足函数 $\text{[math]}$ ，且记录了一次甲运动员起跳后的数据 $\text{[math]}$ ；而乙运动员满足函数 $\text{[math]}$ ，且达到最大高度为 $\text{[math]}$ 米．

（1）求甲，乙运动员起跳后的函数的表达式．

（2）起跳后甲运动员达到最高点之前的水平距离前进了多少米．

（3）请你判断乙运动员着陆点能否超过甲运动员？并说明理由．

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23. 综合与实践

探究主题	直角三角板与圆
探究背景	学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于 $\text{[math]}$ ”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况(如图1)，具体研究如图1．
探究任务1	找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理：______．
探究任务2	用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为 $\text{[math]}$ ．如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，研究小组对提出的结论进行证明：证：如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于 $\text{[math]}$ ，根据作图写出结论： $\text{[math]}$ =______．
探究任务3	当直角顶点运动到圆内时如图4，直角 $\text{[math]}$ 并反向延长两边交圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明．你的猜想：______．(可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述) 证明：…
探究任务4	各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求圆的直径．比赛评分标准如表：

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24. 如图，已知 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直径，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）求证： $\text{[math]}$ ；

（3）连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ．

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浙江省杭州市上城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.

三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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抽奖次数n	100	150	200	800	1000
抽到“中奖”卡片的次数m	38	56	69	258	299
中奖的频率 $\text{[math]}$	0.38	0.373	0.345	0.323	0.299

浙江省杭州市上城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.

三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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