北京市中考数学真题汇编（近五年）3 函数

修改时间：2021-08-20 浏览次数：144 类型：二轮复习编辑

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一、单选题

1. 如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：

①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，表示左安门的点的坐标为（5， $\text{[math]}$ ）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，表示左安门的点的坐标为（10， $\text{[math]}$ ）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，表示左安门的点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；④当表示天安门的点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），表示广安门的点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，表示左安门的点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ①④ D . ①②③④

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2. 如图，用绳子围成周长为 $\text{[math]}$ 的矩形，记矩形的一边长为 $\text{[math]}$ ，它的邻边长为 $\text{[math]}$ ，矩形的面积为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 在一定范围内变化时， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都随 $\text{[math]}$ 的变化而变化，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足的函数关系分别是（）

A . 一次函数关系，二次函数关系 B . 反比例函数关系，二次函数关系 C . 一次函数关系，反比例函数关系 D . 反比例函数关系，一次函数关系

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3. 有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）

A . 正比例函数关系 B . 一次函数关系 C . 二次函数关系 D . 反比例函数关系

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4. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与水平距离 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）近似满足函数关系 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．下图记录了某运动员起跳后的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2所示．下列叙述正确的是（）

A . 两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B . 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C . 小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程 D . 小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次

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6.
如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（　　）

A . O₁ B . O₂ C . O₃ D . O₄

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二、填空题

7. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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8. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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9. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上．点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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10. 2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．

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三、综合题

11. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上．若 $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由．

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12. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图象 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ （4，1），直线 $\text{[math]}$ 与图象 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的部分与线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 围成的区域（不含边界）为 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 时，直接写出区域 $\text{[math]}$ 内的整点个数；
②若区域 $\text{[math]}$ 内恰有4个整点，结合函数图象，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求直线BC的表达式；

（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂），与直线BC交于点N（x₃ ， y₃），若x₁＜x₂＜x₃ ，结合函数的图象，求x₁+x₂+x₃的取值范围．

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14. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象由函数 $\text{[math]}$ 的图象向下平移1个单位长度得到．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，对于 $\text{[math]}$ 的每一个值，函数 $\text{[math]}$ 的值大于一次函数 $\text{[math]}$ 的值，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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15. 在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．

（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P₁（ $\text{[math]}$ ，0），P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₃（ $\text{[math]}$ ，0）中，⊙O的关联点是．
②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．

（2） ⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

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16. 小云在学习过程中遇到一个函数 $\text{[math]}$ ．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（1）当 $\text{[math]}$ 时，对于函数 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随x的增大而，且 $\text{[math]}$ ；对于函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随x的增大而，且 $\text{[math]}$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而．

（2）当 $\text{[math]}$ 时，对于函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，y与x的几组对应值如下表：

x

0

$\text{[math]}$

1

$\text{[math]}$

2

$\text{[math]}$

3

$\text{[math]}$

y

0

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

1

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

综合上表，进一步探究发现，当 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，画出当 $\text{[math]}$ 时的函数y的图象．

（3）过点(0，m)（ $\text{[math]}$ ）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数 $\text{[math]}$ 的图象有两个交点，则m的最大值是．

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17. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象由函数 $\text{[math]}$ 的图象平移得到，且经过点(1，2)．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，对于 $\text{[math]}$ 的每一个值，函数 $\text{[math]}$ 的值大于一次函数 $\text{[math]}$ 的值，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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18. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的图形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，给出如下定义： $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 上任意一点，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 间的“闭距离”，记作 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
已知点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，6）， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ （6， $\text{[math]}$ ）．

（1）求 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（2）记函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图象为图形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3） $\text{[math]}$ 的圆心为 $\text{[math]}$ （t ， 0），半径为1．若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，直接写出t的取值范围．

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19. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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20. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，将点 $\text{[math]}$ 向右平移5个单位长度，得到点 $\text{[math]}$ ．

（1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段 $\text{[math]}$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线l： $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交于点A，B，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 $\text{[math]}$ 围成的区域（不含边界）为 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 时，结合函数图象，求区域 $\text{[math]}$ 内的整点个数；

②若区域 $\text{[math]}$ 内没有整点，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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22. 国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：

30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5

c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

d．中国的国家创新指数得分为69.5.

（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）

根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线 $\text{[math]}$ 的上方．请在图中用“ $\text{[math]}$ ”圈出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．

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23. 如图，P是 $\text{[math]}$ 与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是 $\text{[math]}$ 上一动点，连接PC交弦AB于点D．

小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点C在 $\text{[math]}$ 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8
PC/cm	3.44	3.30	3.07	2.70	2.25	2.25	2.64	2.83
PD/cm	3.44	2.69	2.00	1.36	0.96	1.13	2.00	2.83
AD/cm	0.00	0.78	1.54	2.30	3.01	4.00	5.11	6.00

在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为cm．

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．

（1）求k、m的值；

（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象于点N．
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；

②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

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25.
已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值：
x
…
1
2
3
5
7
9
…
y
…
1.98
3.95
2.63
1.58
1.13
0.88
…
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（2）根据画出的函数图象，写出：
①x=4对应的函数值y约为
②该函数的一条性质：

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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）
横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

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27.
如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣6，0）的直线l₁与直线l₂：y=2x相交于点B（m，4）．

（1）求直线l₁的表达式；

（2）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l₁ ， l₂的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．

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28. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上任意两点，其中 $\text{[math]}$ ．

（1）若抛物线的对称轴为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$

（2）设抛物线的对称轴为 $\text{[math]}$ ．若对于 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求t的取值范围．

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29. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 所围成的图形的内部的一定点， $\text{[math]}$ 是弦 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ ．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 随自变量 $\text{[math]}$ 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量 $\text{[math]}$ 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组对应值；
$\text{[math]}$
0
1
2
3
4
5
6
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

（2）在同一平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），并画出函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时， $\text{[math]}$ 的长度约为 $\text{[math]}$ ．

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x	0	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$	2	$\text{[math]}$	3	$\text{[math]}$
y	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

x	…	1	2	3	5	7	9	…
y	…	1.98	3.95	2.63	1.58	1.13	0.88	…

北京市中考数学真题汇编（近五年）3 函数

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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