2021年高考数学尖子生培优专题09 圆锥曲线

1. 直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有两个交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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2. 已知动点 $\text{[math]}$ 的坐标满足方程 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是（）

A . 椭圆 B . 双曲线 C . 抛物线 D . 圆

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3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为l，过点F且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于点 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 在第一象限)， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则抛物线的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）的渐近线与圆 $\text{[math]}$ 相切，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是椭圆的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $\text{[math]}$ 与椭圆交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . -2 B . -1 C . $\text{[math]}$ D . 1

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6. 已知平行于x轴的一条直线与双曲线 $\text{[math]}$ =1(a>0，b>0)相交于P，Q两点，|PQ|=4a ，∠PQO= $\text{[math]}$ (O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于A，B两点，点M为劣弧 $\text{[math]}$ 上不同A，B的一个动点，平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线MN交抛物线于点N，则 $\text{[math]}$ 的周长的取值范围为（）

A . (3，5) B . (5，7) C . (6，8) D . (6，8]

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8. 已知圆 $\text{[math]}$ 和焦点为F的抛物线 $\text{[math]}$ ，点N是圆 $\text{[math]}$ 上一点，点M是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，点M在 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最小值，点M在 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最大值，则 $\text{[math]}$ （）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，为了使方程 $\text{[math]}$ 表示准线垂直于 $\text{[math]}$ 轴的圆锥曲线，实数 $\text{[math]}$ 的取值范围可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线过点 $\text{[math]}$ ，点F为双曲线C的右焦点，则下列结论正确的是（）.

A . 双曲线C的离心率为 $\text{[math]}$ B . 双曲线C的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 若点F到双曲线C的渐近线的距离为 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的方程为 $\text{[math]}$ D . 设O为坐标原点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，长轴长为 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上且满足 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另一个点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，则下列说法正确的是（）

A . 椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为2 B . 三角形 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ C . 圆 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 的内部 D . 过点 $\text{[math]}$ 的圆 $\text{[math]}$ 的切线斜率为 $\text{[math]}$

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12. 设F是抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是3 D . $\text{[math]}$ 的面积的最小值是2

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13. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为．

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14. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，且离心率 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆上位于第二象限内的一点，若 $\text{[math]}$ 是腰长为4的等腰三角形，则 $\text{[math]}$ 的面积为.

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15. 在平面直角坐标系内有两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为抛物线的焦点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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16. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 的左､右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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17. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是椭圆的左、右焦点， $\text{[math]}$ 是椭圆上一点，且 $\text{[math]}$ 的周长是6.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设直线 $\text{[math]}$ 经过椭圆的右焦点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试问：在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率的和为定值？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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18. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到其准线的距离恰好是圆 $\text{[math]}$ 的半径．

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程及其焦点坐标；

（2）过抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ （除原点外）作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线 $\text{[math]}$ 的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

（1）求双曲线E的方程；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程.

（2）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的两点.
（ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为等边三角形，求 $\text{[math]}$ 的边长；

（ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 不可能为等边三角形.

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21. 如图，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）若点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 的准线上，求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程：

（Ⅱ）若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且倾斜角和直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角互补，交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，

（i）证明：点 $\text{[math]}$ 的横坐标是定值，并求出该定值：

（ii）当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求 $\text{[math]}$ 的值．

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22. 已知倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ .

（1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且线段 $\text{[math]}$ 的中点坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）对于平面上任一点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，称 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的距离，已知点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上运动，写出点 $\text{[math]}$ 到线段 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式.

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一、单选题

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三、填空题

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