浙江省超级全能生2020-2021学年高三上学期数学9月联考试卷

1. 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 当 $\text{[math]}$ 时，“函数 $\text{[math]}$ 的值恒小于1”的一个充分不必要条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条作 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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7. 已知边长为1的正三角形 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 异侧，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. 椭圆 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）的右顶点为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，若椭圆上存在点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则椭圆离心率 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 数列 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A . 不存在实数 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 为常数列 B . 有且只有一个实数 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 为常数列 C . 若数列 $\text{[math]}$ 为递增数列，则实数 $\text{[math]}$ D . 若实数 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 为递增数列

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10. 如图，已知三棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，底而是边长为1的正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不含端点）上的两个动点，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值不可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知角 $\text{[math]}$ 终边上一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .

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12. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，二项式系数和为64，则 $\text{[math]}$ ；中间项的系数为.

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13. 在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？因为甲输掉后两局的可能性只有 $\text{[math]}$ ，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为 $\text{[math]}$ ，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为 $\text{[math]}$ ，即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上，若直线 $\text{[math]}$ 且与圆 $\text{[math]}$ 相切，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为；当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，直线 $\text{[math]}$ 方程为.

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15. 某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班，要求每班至少含一名民警和一名医务人员，且至少有一名女性，每人值一班.现有民警4人（4男），医务人员6人（5女1男），其中民警甲不排上午，男医生不排上午、下午，则不同的安排方法有种.

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16. 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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17. 已知正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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18. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）若边 $\text{[math]}$ 上的中线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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19. 已知首项为1公差不为零的等差数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的等比中项，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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20. 如图，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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21. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ ，斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 过焦点 $\text{[math]}$ 且交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.

（Ⅰ）若弦 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 在准线上的投影为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的倾斜角互补，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的两个不同零点，求证： $\text{[math]}$ .

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浙江省超级全能生2020-2021学年高三上学期数学9月联考试卷

一、单选题

二、双空题

三、填空题

四、解答题

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