广东省东莞市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

1. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则边 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则目标函数 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . 2 B . 1 C . -1 D . -2

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3. 糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 $\text{[math]}$ ，向糖水（不饱和）中再加入 $\text{[math]}$ 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 7 D . 8

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6. 已知a,b为实数，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（）

A . 96里 B . 48里 C . 24里 D . 12里

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8. 如图，已知三棱锥 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，若记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知实数 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上异于顶点的点．直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径的圆相切于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . 4 D . 5

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11. 四边形 $\text{[math]}$ 内接于圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列结论正确的有（）

A . 四边形 $\text{[math]}$ 为梯形 B . 圆 $\text{[math]}$ 的直径为7 C . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的三边长度可以构成一个等差数列

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12. 我们通常称离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点， $\text{[math]}$ 为焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 $\text{[math]}$ 为“黄金椭圆”的有（）

A . $\text{[math]}$ 为等比数列 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ D . 四边形 $\text{[math]}$ 的内切圆过焦点 $\text{[math]}$

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13. 抛物线 $\text{[math]}$ 上的一点 $\text{[math]}$ 到焦点的距离为2，则点 $\text{[math]}$ 的纵坐标是.

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14. 如图，以长方体 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，过 $\text{[math]}$ 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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15. 已知命题“ $\text{[math]}$ 不等式 $\text{[math]}$ ”为真命题，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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16. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列： $\text{[math]}$ ……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），则 $\text{[math]}$ （用 $\text{[math]}$ 表示）， $\text{[math]}$ (用常数表示)

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17. 已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 为真，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充分不必要条件，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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18. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ 公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .

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19. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小.

（2）若 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.

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20. 如图，已知斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 上的射影恰为 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ？若存在，确定点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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21. 在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的 $\text{[math]}$ 点测得国贸中心顶部的仰角为 $\text{[math]}$ ，正对国贸中心前进了 $\text{[math]}$ 米后，到达 $\text{[math]}$ 点，在 $\text{[math]}$ 点测得国贸中心顶部的仰角为 $\text{[math]}$ ，然后计算出国贸中心的高度（如图）.

第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为 $\text{[math]}$ 米；②正对国贸中心，将镜子前移 $\text{[math]}$ 米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为 $\text{[math]}$ 米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.

实际操作中，第一小组测得 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，最终算得国贸中心高度为 $\text{[math]}$ ；第二小组测得 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，最终算得国贸中心高度为 $\text{[math]}$ ；假设他们测量者的“眼高 $\text{[math]}$ ”都为 $\text{[math]}$ 米.

（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，答案保留整数结果）；

（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.

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22. 设圆 $\text{[math]}$ 的圆心为 $\text{[math]}$ ，直线l过点 $\text{[math]}$ 且与x轴不重合，l交圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（1）证明 $\text{[math]}$ 为定值,并写出点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

（2）设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰三角形，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.

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广东省东莞市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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一、单选题

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