山东省聊城市2020届高三数学高考模拟（一)试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数z的共轭复数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为真命题”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 将某校高一3班全体学生分成三个小组分别到三个不同的地方参加植树活动，若每个学生被分到三个小组的概率都相等，则这个班的甲，乙两同学分到同一个小组的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）

A . 153 B . 190 C . 231 D . 276

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7. 正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点M是棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数 $\text{[math]}$ 称为高斯函数，其中 $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数.设 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的所有零点之和为（）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

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9. 下列说法正确的是（）

A . 回归直线一定经过样本点的中心 $\text{[math]}$ B . 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 $\text{[math]}$ 的值越接近于1 C . 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D . 在线性回归模型中，相关指数 $\text{[math]}$ 越接近于1，说明回归模型的拟合效果越好

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10. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（）

A . C的渐近线上的点到 $\text{[math]}$ 距离的最小值为4 B . C的离心率为 $\text{[math]}$ C . C上的点到 $\text{[math]}$ 距离的最小值为2 D . 过F的最短的弦长为 $\text{[math]}$

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11. 已知直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线C的准线与以 $\text{[math]}$ 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

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12. 若实数 $\text{[math]}$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$

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14. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则实数a的取值范围为

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15. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$

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16. 点 $\text{[math]}$ 分别为三棱柱 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 截三棱柱 $\text{[math]}$ 所得截面面积为 $\text{[math]}$ ，五棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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17. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，_______， $\text{[math]}$ ，若对于任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为常数)，求正整数 $\text{[math]}$ 的值.

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18. 在平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）设M为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 周长的最大值.

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19. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为折痕把 $\text{[math]}$ 折起，使点A到达点P的位置，且 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若M为 $\text{[math]}$ 的中点，二面角 $\text{[math]}$ 等于60°，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴长为4，右焦点为F，且椭圆C上的点到点F的距离的最小值与最大值的积为1，圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）动直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C交于 $\text{[math]}$ 两点，且直线l与圆O相切，求 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积乘积的取值范围.

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21. 2020年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情.某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下，得分在 $\text{[math]}$ 内的学生获三等奖，得分在 $\text{[math]}$ 内的学生获二等奖，得分在 $\text{[math]}$ 内的学生获一等奖，其他学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.

（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

（2）若该校所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(i)若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数)；

(ii)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为 $\text{[math]}$ ，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和均值.

附：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）证明：当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有唯一的极值点；

（2）设 $\text{[math]}$ 为正整数，若不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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山东省聊城市2020届高三数学高考模拟（一)试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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