湖南省永州市新田县2019年中考数学一模试卷

1. 计算（﹣3）×（﹣4）的结果等于（）

A . 12 B . ﹣12 C . -7 D . ﹣4

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2. 据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10^﹣⁹m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（）

A . 28×10^﹣⁹m B . 2.8×10^﹣⁸m C . 28×10⁹m D . 2.8×10⁸m

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3. 把x³﹣16x分解因式，结果正确的是（）

A . x(x²-16) B . x(x-4)² C . x(x+4)² D . x(x+4)(x-4)

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4. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）

A . B . C . D .

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5. 若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为（）

A . 40⁰ B . 50⁰ C . 55⁰ D . 60⁰

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6. 根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图．
根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（）

A . 李飞或刘亮 B . 李飞 C . 刘亮 D . 无法确定

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7. 下列说法正确的是（）

A . 菱形的对角线垂直且相等 B . 到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 C . 角的平分线就是角的对称轴 D . 形状相同的两个三角形就是全等三角形

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8. 若一元二次方程x²﹣2x-m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A . m≥-1 B . m≤1 C . m＞-1 D . m＜-1

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9. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 $\text{[math]}$ ，得到△COD，则CD的长度是（）

A . 1 B . 2 C . 2 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）

A . （60°，4） B . （45°，4） C . （60°，2 $\text{[math]}$ ） D . （50°，2 $\text{[math]}$ ）

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11. 使表达式 $\text{[math]}$ 有意义的x的取值范围是．

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12. 化简： $\text{[math]}$ =.

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13. 将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=．

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14. 如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=25°，则∠CAB的度数为．

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15. 一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的表面积为cm² ．

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16. 为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是.

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17. 从﹣1、0、 $\text{[math]}$ 、0.3、π、 $\text{[math]}$ 这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为．

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18. 任何大于1的正整数m的三次幂均可分裂成m个连续奇数的和．如：2³=3+5、3³=7+9+11、4³=13+15+17+19……依此规律，若m³分裂后其中有一个奇数是2019，则m的值是.

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19. 计算：|﹣5|+（﹣1）²⁰¹⁹﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ．

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20. 解不等式组 $\text{[math]}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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21. 为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）
请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次调查一共抽取了名居民；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？

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22. 如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于于点O．

（1）求证：△DAF≌△ABE；

（2）求∠AOD的度数；

（3）若AO=4，DF=10，求 $\text{[math]}$ 的值.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k₁x+b的图象与反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．

（1）求k₂ ， n的值；

（2）请直接写出不等式k₁x+b< $\text{[math]}$ 的解集；

（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A′BC的面积．

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24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．

（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3 $\text{[math]}$ ，DF=3，求图中阴影部分的面积．

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25. 如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax²+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C
.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.
①若点P的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标；

②直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

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26.
已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP₁ ， BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP₂ ，连接PP₁、PP₂ ．

（1）如图1，当α=90°时，求∠P₁PP₂的度数；

（2）如图2，当点P₂在AP₁的延长线上时，求证：△P₂P₁P∽△P₂PA；

（3）如图3，过BP的中点E作l₁⊥BP，过BP₂的中点F作l₂⊥BP₂ ， l₁与l₂交于点Q，连接PQ，求证：P₁P⊥PQ．

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湖南省永州市新田县2019年中考数学一模试卷

一、选择题

二、填空题

三、综合题

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