河南省2020届高三普通高等学校招生理数模拟考试试卷

修改时间：2021-05-20 浏览次数：209 类型：高考模拟编辑

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一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复平面内与复数 $\text{[math]}$ 对应的点在（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为2 C . $\text{[math]}$ 的图像关于 $\text{[math]}$ 轴对称 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减

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4. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝ $\text{[math]}$ AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（　　）（参考数据： $\text{[math]}$ 2.236）

A . 0.236 B . 0.382 C . 0.472 D . 0.618

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5. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 中，有 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 26 B . 52 C . 78 D . 104

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6. 已知两条直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的（）

A . 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面上一点，且满足 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上一点，且在 $\text{[math]}$ 轴上方， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线的左、右焦点， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为（）

A . 3 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知A，B，C为球O的球面上的三个定点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为 $\text{[math]}$ ，三棱锥O一ABC的体积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的最大值为3，则球O的表面积为 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意,则选法有种．

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14. 已知正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最小值，最小值为．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的偶函数，且 $\text{[math]}$ 为奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 已知点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且内角 $\text{[math]}$ 依次成等差数列.

（1）若 $\text{[math]}$ ，求边 $\text{[math]}$ 的长；

（2）设 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，求线段 $\text{[math]}$ 长的最小值.

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18. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，短轴长为2.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ ，
求证：点 $\text{[math]}$ 在定圆上.

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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21. 2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为 $\text{[math]}$ ，某位患者在隔离之前，每天有 $\text{[math]}$ 位密切接触者，其中被感染的人数为 $\text{[math]}$ ，假设每位密切接触者不再接触其他患者.

（1）求一天内被感染人数为 $\text{[math]}$ 的概率 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的关系式和 $\text{[math]}$ 的数学期望；

（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第 $\text{[math]}$ 天新增患者的数学期望记为 $\text{[math]}$ .
（i）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，并证明数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，计算此时 $\text{[math]}$ 所对应的 $\text{[math]}$ 值和此时 $\text{[math]}$ 对应的 $\text{[math]}$ 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取 $\text{[math]}$ ）

（结果保留整数，参考数据： $\text{[math]}$ ）

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22. 在极坐标系中,直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．以极点为原点,极轴为 $\text{[math]}$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ ,（ $\text{[math]}$ 为参数）．

（1）请写出直线 $\text{[math]}$ 的参数方程;

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交点 $\text{[math]}$ 的直角坐标．

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23. 回答下面问题

（1）已知 $\text{[math]}$ ,且 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,求证： $\text{[math]}$ ．

（2）已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,试确定 $\text{[math]}$ 的最大值．

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河南省2020届高三普通高等学校招生理数模拟考试试卷

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