解：如图，作

C E ⊥ B D

，垂足为

E

连接

A E

．

因为 $Rt △ A B D \subseteq Rt △ C B D$ ，

所以 $A E ⊥ B D ，$ $A E = C E ，$ $∠ A E C$ 为二面角A-BD-C的平面角．

由已知二面角 $A - B D - C$ 为 $120 °$ ，知 $∠ A E C = 120 °$ ．

在等腰三角形 $A E C$ 中，由余弦定理可得 $A C = \sqrt{3} A E$ ．

因为 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $A C = A B$ ，所以 $A B = \sqrt{3} A E$ ．

在 $Rt △ A B D$ 中，有 $\frac{1}{2} A E \cdot B D = \frac{1}{2} A B \cdot A D$ ，得 $B D = \sqrt{3} A D$ ，

因为 $B D = \sqrt{6}$ ，所以 $A D = \sqrt{2}$ ．

又 $B D^{2} = A B^{2} + A D^{2}$ ，所以 $A B = 2$ ．

则 $A E = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $E D = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

以 $E$ 为坐标原点，以向量 $\vec{E C} ，$ $\vec{E D}$ 的方向分别为 $x$ 轴， $y$ 轴的正方向，

以过点 $E$ 垂直于平面 $B C D$ 的直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $E - x y z$ ，

则 $D (0 ， \frac{\sqrt{6}}{3} ， 0)$ ， $A (- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0 ， 1)$ ，向量 $\vec{A D} = (\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{6}}{3} ， - 1)$ ，

平面 $B C D$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (0 ， 0 ， 1)$ ，

设直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $θ$ ，

则 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{A D} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{A D}}{| \vec{m} | | \vec{A D} |} = \frac{- 1}{\sqrt{2} \times 1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\sin θ = | \cos 〈 \vec{m} ， \vec{A D} 〉 | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

所以直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

河南省2020届高三普通高等学校招生理数模拟考试试卷