已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为 α 、 β （如图1），则 cos2α+cos2β=1 .用类比的方法，把它推广...

题型：解答题题类：常考题难易度：普通

吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二下学期文数第一次月考试卷

已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （如图1），则 $\text{[math]}$ .用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.

举一反三

根据两角和与差的正弦公式，有

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③

令α+β=A，α﹣β=B 有α= $\text{[math]}$ ，β= $\text{[math]}$

代入③得 sinA+sinB=2sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ．

类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：

cosA﹣cosB=﹣2sin $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ ．

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