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题型：解答题题类：常考题难易度：困难

安徽省蚌埠市2017-2018学年高二上学期理数期末考试试卷

椭圆 $\text{[math]}$ 的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为 $\text{[math]}$ .

（1）、若一条直径的斜率为 $\text{[math]}$ ，求该直径的共轭直径所在的直线方程；

（2）、若椭圆的两条共轭直径为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，它们的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，证明：四边形 $\text{[math]}$ 的面积为定值.

举一反三

已知F₁ ， F₂分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右焦点，A为椭圆的上顶点．曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，过点F₁的直线l交曲线C于x轴上方两个不同的点P，Q，设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）求△F₁AF₂的内切圆的方程；

（Ⅲ）若λ= $\text{[math]}$ ，求直线l的方程．

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程．

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上两个不同的动点，且使 $\text{[math]}$ 的角平分线垂直于 $\text{[math]}$ 轴，试判断直线 $\text{[math]}$ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

过椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 右焦点的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且椭圆的长轴长为短轴长的 $\text{[math]}$ 倍.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，且 $\text{[math]}$

已知点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的圆心， $\text{[math]}$ 是圆上的动点，点 $\text{[math]}$ 在圆的半径 $\text{[math]}$ 上，且有点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ .

(Ⅰ)当点 $\text{[math]}$ 在圆上运动时，判断 $\text{[math]}$ 点的轨迹是什么？并求出其方程；

(Ⅱ)若斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，与(Ⅰ)中所求点 $\text{[math]}$ 的轨迹交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是坐标原点）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

已知椭圆E： $\text{[math]}$ 过点(0，1)且离心率 $\text{[math]}$ .

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设动直线l与两定直线l₁：x﹣y=0和l₂：x+y=0分别交于P ， Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

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