- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：普通

专题27 解三角形的应用（新高考专用）

十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆 $\text{[math]}$ 和横档 $\text{[math]}$ 构成，并且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从 $\text{[math]}$ 点观察．滑动横档 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的影子恰好是 $\text{[math]}$ ．然后，通过测量 $\text{[math]}$ 的长度，可计算出视线和水平面的夹角 $\text{[math]}$ （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

（1）、在某次测量中， $\text{[math]}$ ，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．

（2）、在杆 $\text{[math]}$ 上有两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．当横档 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 时，记太阳高度角为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是锐角．证明： $\text{[math]}$ ．