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题型：解答题题类：难易度：困难

四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题

柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足①图象在 $\text{[math]}$ 上是一条连续不断的曲线；②在 $\text{[math]}$ 内可导；③对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．特别的，取 $\text{[math]}$ ，则有： $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，此情形称之为拉格朗日中值定理．

（1）、设函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其导函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的单调性并证明；

（2）、若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）、若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

举一反三

设函数f(x)=x³-3ax²+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点（1，－11）。

已知函数f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．

函数 f （ x）= $\text{[math]}$ （ x＞1）单调递减区间是（）

已知函数 $\text{[math]}$ .

若函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

已知函数 $\text{[math]}$ .

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