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题型：解答题题类：难易度：困难

四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题

柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足①图象在 $\text{[math]}$ 上是一条连续不断的曲线；②在 $\text{[math]}$ 内可导；③对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．特别的，取 $\text{[math]}$ ，则有： $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，此情形称之为拉格朗日中值定理．

（1）、设函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其导函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的单调性并证明；

（2）、若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）、若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

举一反三

函数 $\text{[math]}$ 的的单调递增区间是 ( )

讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性.

①“两条直线没有公共点，是两条直线异面”的必要不充分条件；

②若过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线有两条，则 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

④若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在单调递增区间，则 $\text{[math]}$ ；

以上结论正确的个数为（）

已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(Ⅰ)若 $\text{[math]}$ 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(Ⅱ)若过点 $\text{[math]}$ 可作函数 $\text{[math]}$ 图象的两条不同切线，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

已知不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，则正实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}．

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