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题型：解答题题类：难易度：困难

【高考真题】2024年上海市高考数学卷

对于一个函数 $\text{[math]}$ 和一个点 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的最小值，则称点P是函数 $\text{[math]}$ 到点M的“最近点”.

（1）、对于 $\text{[math]}$ （x＞0），求证，对于点 $\text{[math]}$ ，存在点P ，使得P是 $\text{[math]}$ 到点M的“最近点”；

（2）、对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请判断是否存在一个点P ，它是 $\text{[math]}$ 到点M的“最近点”，且直线MP与 $\text{[math]}$ 在点P处的切线垂直；

（3）、已知f（x）存在导函数f^'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M₁（t-1，f（t）-g（t）），点M₂（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M₁与点M₂的“最近点”，试判断f（x）的单调性．

举一反三

已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ax²﹣（a²+1）x+alnx．

（Ⅰ）若函数f（x）在[ $\text{[math]}$ ， e]上单调递减，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当a $\text{[math]}$ 时，求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．（注意：ln2＜0.7）

已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间为（）

函数y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ 单调递增区间是（）

设函数f（x）=x•lnx+ax，a∈R．

已知函数 $\text{[math]}$ ．

已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是{#blank#}1{#/blank#}．

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