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题型：解答题题类：难易度：困难

【高考真题】2024年上海市高考数学卷

对于一个函数 $\text{[math]}$ 和一个点 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的最小值，则称点P是函数 $\text{[math]}$ 到点M的“最近点”.

（1）、对于 $\text{[math]}$ （x＞0），求证，对于点 $\text{[math]}$ ，存在点P ，使得P是 $\text{[math]}$ 到点M的“最近点”；

（2）、对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请判断是否存在一个点P ，它是 $\text{[math]}$ 到点M的“最近点”，且直线MP与 $\text{[math]}$ 在点P处的切线垂直；

（3）、已知f（x）存在导函数f^'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M₁（t-1，f（t）-g（t）），点M₂（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M₁与点M₂的“最近点”，试判断f（x）的单调性．

举一反三

设函数y=f（x）的导函数为f′（x），若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为x﹣y+2=0，则f（1）+f′（1）={#blank#}1{#/blank#}

已知x＞y＞0，则x+ $\text{[math]}$ 的最小值是（）

若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（）

函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为{#blank#}1{#/blank#}．

问题：正实数a，b满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.其中一种解法是： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时取等号.学习上述解法并解决下列问题：

已知函数 $\text{[math]}$ .

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