- 二一组卷

题型：解答题题类：模拟题难易度：普通

河北省石家庄市2021届高三下学期数学质检试卷一

2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.

（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为 $\text{[math]}$ 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体 $\text{[math]}$ ，几何体 $\text{[math]}$ 的底面半径和高都为 $\text{[math]}$ ，其底面和半球体的底面同在平面 $\text{[math]}$ 内.设与平面 $\text{[math]}$ 平行且距离为 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；

（Ⅱ）现将椭圆 $\text{[math]}$ 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球 $\text{[math]}$ 的体积公式，并写出椭球 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的体积之比.

举一反三

侧棱长都为 $\text{[math]}$ 的三棱锥 $\text{[math]}$ 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（）

将半径为5的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r₁ ， r₂ ， r₃ ，则r₁+r₂+r₃={#blank#}1{#/blank#} ．

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为 $\text{[math]}$ ，则正方体的棱长为{#blank#}1{#/blank#}

已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）

在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）

若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为{#blank#}1{#/blank#}，该圆锥底面直径与母线所成角的最小值为{#blank#}2{#/blank#}．

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