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题型：解答题题类：模拟题难易度：困难

2017年上海市长宁区延安中学高考数学三模试卷

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，定义：△F₁BF₂为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点，且C₁上任意一点到它的两焦点的距离之和为4．

（1）、若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且C₂与C₁的相似比为2：1，求椭圆C₂的方程；

（2）、已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任意一点，若点Q是直线y=nx与抛物线 $\text{[math]}$ 异于原点的交点，证明：点Q一定在双曲线4x²﹣4y²=1上；

（3）、已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b ，是否存在正方形ABCD，（设其面积为S），使得A、C在直线l上，B、D在曲线C_b上？若存在，求出函数S=f（b）的解析式及定义域；若不存在，请说明理由．

举一反三

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，满足 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和长轴长；

（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，P为直线x=﹣3上任意一点，过点F作直线PF的垂线交椭圆C于M，N，记d₁ ， d₂分别为点M和N到直线OP的距离，证明：d₁=d₂ ．

设椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，上顶点为A，过A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F₁恰好是线段QF₂的中点．

已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）经过点（ $\text{[math]}$ ，1），以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．

已知椭圆C：x²+4y²=4．

设椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到左右两个焦点 $\text{[math]}$ 的距离之和是4.

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