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题型：解答题题类：模拟题难易度：困难

2017年上海市长宁区延安中学高考数学三模试卷

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，定义：△F₁BF₂为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点，且C₁上任意一点到它的两焦点的距离之和为4．

（1）、若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且C₂与C₁的相似比为2：1，求椭圆C₂的方程；

（2）、已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任意一点，若点Q是直线y=nx与抛物线 $\text{[math]}$ 异于原点的交点，证明：点Q一定在双曲线4x²﹣4y²=1上；

（3）、已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b ，是否存在正方形ABCD，（设其面积为S），使得A、C在直线l上，B、D在曲线C_b上？若存在，求出函数S=f（b）的解析式及定义域；若不存在，请说明理由．

举一反三

已知椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e= $\text{[math]}$ ，直线l交椭圆于M，N两点．

已知F₁ ， F₂分别是椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，离心率e= $\text{[math]}$

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设经过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的一个焦点与 $\text{[math]}$ 的焦点重合，点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\text{[math]}$ =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），直线 $\text{[math]}$ 平行OM，且与椭圆交于A、B两个不同的点。

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)若 $\text{[math]}$ AOB为钝角，求直线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(Ⅲ)求证直线MA、MB与 $\text{[math]}$ 轴围成的三角形总是等腰三角形。

设 $\text{[math]}$ 是坐标原点，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，短轴长为4.平行 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴右侧的交点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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