- 二一组卷

题型：证明题题类：常考题难易度：普通

广东省湛江市二十二中学2020-2021学年八年级上学期数学10月月考试卷

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E，

求证：AC²＝AE²－BE² ．

举一反三

意大利著名画家达•芬奇验证勾股定理的方法如下：

①在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，并连接BC、FE．

②沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ，请动手做一做．

③将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其他的图形．

④比较两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积，你能验证勾股定理吗？

勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c² ．

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．

∵S_四边形_ADCB=S_△_ACD+S_△_ABC= $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ ab．

又∵S_四边形_ADCB=S_△_ADB+S_△_DCB= $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a（b﹣a）

∴ $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ ab= $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a（b﹣a）

∴a²+b²=c²

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．

求证：a²+b²=c²

证明：连结{#blank#}1{#/blank#}

∵S_五边形_ACBED={#blank#}2{#/blank#}

又∵S_五边形_ACBED={#blank#}3{#/blank#}

∴{#blank#}4{#/blank#}

∴a²+b²=c² ．

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c² ．

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣A

∵S_四边形_ADCB=S_△_ACD+S_△_ABC= $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ aB．

又∵S_四边形_ADCB=S_△_ADB+S_△_DCB= $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a（b﹣a）

∴ $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ ab= $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a（b﹣a）

∴a²+b²=c²

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a²+b²=c² ．

证明：连结{#blank#}1{#/blank#}，过{#blank#}2{#/blank#}，则{#blank#}3{#/blank#}，

∵S_五边形_ACBED={#blank#}4{#/blank#}，

又∵S_五边形_ACBED={#blank#}5{#/blank#}，

∴{#blank#}6{#/blank#}，

∴{#blank#}7{#/blank#}．

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