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题型：解答题题类：常考题难易度：困难

湖南省湖湘教育三新探索协作体2019-2020学年高二上学期数学12月联考试卷

如图，椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好是等轴双曲线 $\text{[math]}$ 的左右顶点，且椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上异于顶点的任意一点，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与椭圆的交点分别记为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）、求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）、设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值；

（3）、若存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的大小．

举一反三

双曲线x²﹣ $\text{[math]}$ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，直线l过F₂且与双曲线交于A，B两点．

已知圆C：（x﹣1）²+（y﹣1）²=2经过椭圆Γ： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．

已知椭圆C₁ ，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是（3，一2 $\text{[math]}$ ），（一2，0），（4，一4），（ $\text{[math]}$ ）．

（Ⅰ）求C₁ ， C₂的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线L满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交与不同的两点M，N且满足 $\text{[math]}$ ？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．

已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1的左焦点F₁的坐标为（﹣ $\text{[math]}$ ，0），F₂是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF₁F₂的周长等于4+2 $\text{[math]}$ ．

已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．

如图，设F是椭圆C： $\text{[math]}$ 的左焦点，线段MN为椭圆的长轴，且 $\text{[math]}$ 已知点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

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