记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max ．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax2+x}．

题型：解答题题类：常考题难易度：困难

导数在最大值、最小值问题中的应用

记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max $\text{[math]}$ ．已知函数f（x）=max{x²﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax²+x}．

（1）、求函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的值域；

（2）、试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜ $\text{[math]}$ x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

举一反三

（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；

（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+ $\text{[math]}$ （0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀ ， y₀）处切线的斜率k≤ $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e^﹣³处的切线方程；

（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）恒成立，求实数λ的取值范围．

（Ⅲ）关于x的方程f（x）=a有两个实根x₁ ， x₂ ，求证：|x₁﹣x₂|＜ $\text{[math]}$ a+1+ $\text{[math]}$ ．

（ I）求a的取值范围；

（ II）求证：x₁+x₂＞2e．

若正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

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