设a∈R，函数f（x）=x2e1﹣x﹣a（x﹣1）．

题型：解答题题类：模拟题难易度：普通

2016年广东省中山市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

设a∈R，函数f（x）=x²e¹^﹣^x﹣a（x﹣1）．

（1）、当a=1时，求f（x）在（ $\text{[math]}$ ，2）内的极大值；

（2）、设函数g（x）=f（x）+a（x﹣1﹣e¹^﹣^x），当g（x）有两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂）时，总有x₂g（x₁）≤λf′（x₁），求实数λ的值．（其中f′（x）是f（x）的导函数．）

举一反三

（1）求f（x）的极值；

（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；

（3）设函数g（x）=lnx﹣2x²+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．

（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；

（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．

（Ⅰ）求证：f（x）≥1﹣ $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）设g（x）=x²f（x），且关于x的方程x²f（x）=m有两个不等的实根x₁ ， x₂（x₁＜x₂）．

（i）求实数m的取值范围；

（ii）求证：x₁x₂²＜ $\text{[math]}$ ．

（参考数据：e=2.718， $\text{[math]}$ ≈0.960， $\text{[math]}$ ≈1.124， $\text{[math]}$ ≈0.769，ln2≈0.693，ln2.6≈0.956，ln2.639≈0.970．注：不同的方法可能会选取不同的数据）

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