2025高考一轮（人教A版）第十八讲平面向量的数量积及其应用

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 40 B . 48 C . 51 D . 62

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2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在椭圆上，当 $\text{[math]}$ 的面积为1时， $\text{[math]}$ 等于（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . $\text{[math]}$

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3. 已知点 $\text{[math]}$ 在边长为2的正八边形 $\text{[math]}$ 的边上，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知正三角形 $\text{[math]}$ 的边长为1， $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内，若向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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5. 设向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角大于 $\text{[math]}$ ，则实数m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上.当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知球 $\text{[math]}$ 是正三棱柱 $\text{[math]}$ 的内切球， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是球 $\text{[math]}$ 表面上一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的是边长为2，E，F分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 $\text{[math]}$ 的距离之比为定值 $\text{[math]}$ 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 轨迹 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . 在 $\text{[math]}$ 轴上存在异于 $\text{[math]}$ 的两点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 三点不共线时，射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线 D . 在轨迹 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ 是边长为2的正六边形ABCDEF内部一点，则 $\text{[math]}$ 的值可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . 4 D . 8

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11. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若圆 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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12. 已知 $\text{[math]}$ 的外心为 $\text{[math]}$ ，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在平面上的一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. 设向量 $\text{[math]}$
（I）若 $\text{[math]}$
（II）设函数 $\text{[math]}$

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15. 设点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且它们的斜率之积为 $\text{[math]}$ .

（1）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ .
（i）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积；
（ii）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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16. 已知 $\text{[math]}$
（1）求 $\text{[math]}$ 的最值；（2）是否存在 $\text{[math]}$ 的值使 $\text{[math]}$ ？

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17. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的三等分点（靠近 $\text{[math]}$ 点）．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值，并求此时的 $\text{[math]}$ ．

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18. 对于函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）求函数的最小正周期和单调增区间；

（2）在锐角 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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2025高考一轮（人教A版）第十八讲平面向量的数量积及其应用

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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一、选择题

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