上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

修改时间：2024-11-08 浏览次数：15 类型：开学考试编辑

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为.

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2. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点的坐标是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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3. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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4. 某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为．
类别
老年教师
中年教师
青年教师
合计
人数
36
72
64
172

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量的坐标为．

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6. 一圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的体积是．

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7. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．（结果用反三角函数值表示）

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8. 若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ =.

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9. 对于正数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的算术平均值，并称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的几何平均值.设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的算术平均值是1，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的几何平均值（ $\text{[math]}$ 是自然对数的底）的最小值是.

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10. 已知 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为周期的偶函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，那么在区间 $\text{[math]}$ 内，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 个根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是

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11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M在双曲线C的右支上， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且 $\text{[math]}$ ，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为．

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12. 已知 $\text{[math]}$ 存在 $\text{[math]}$ 对于任意的实数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 则实数T的取值范围为．

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二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16每题5分）

13. 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为非零实数且 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 已知事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 是互斥事件，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 设正四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为1，高为2，平面 $\text{[math]}$ 经过顶点 $\text{[math]}$ ，且与棱 $\text{[math]}$ 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面 $\text{[math]}$ 共有（）个．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ ，存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若集合 $\text{[math]}$ 中只含有4个元素，则t的可能取值有（）个

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O， $\text{[math]}$ 底面ABCD，点M为PC中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求异面直线AP与BM所成角；

（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角

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18. 某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金 $\text{[math]}$ 千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …

（1）写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并证明数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；

（2）至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？

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19. 某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为 $\text{[math]}$ ，高一年级胜高三年级的概率为 $\text{[math]}$ ，且每轮对抗赛的成绩互不影响.

（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，设O为原点，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于两个不同点P，Q，

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且 $\text{[math]}$ ，求证：直线l经过定点；

（3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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类别	老年教师	中年教师	青年教师	合计
人数	36	72	64	172

上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16每题5分）

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

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