2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破17 正方形与全等模型（1）：半角模型

1. 如图所示，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°.已知AD=6，DF=2，则△AEF的面积为( )

A . 6 B . 12 C . 15 D . 30

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2. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转90得到 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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4. 已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上．若AF平分∠DFE，∠AFE=55°，则∠AEB的度数为（）

A . 75° B . 55° C . 80° D . 45°

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5. 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则下列说法中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③tan∠AFE=3；④ $\text{[math]}$ 正确的有（）

A . ①②③ B . ②④ C . ①④ D . ②③④

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6. 如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE ，延长EF交边BC于点G ，且BG=CG ，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S_△_FGC= $\text{[math]}$ .其中正确结论的个数是 (　　)

A . 2　　　　 B . 3　　　　 C . 4　　　　 D . 5

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7. 如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE＝2，DF＝3，则AF的长为．

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8. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点D逆时针旋转90°，得到 $\text{[math]}$ . 若 $\text{[math]}$ ，则EF的长为.

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9. 如图，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上.已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 度；如图，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 .

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10. 如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN，以上结论中，正确的是 .（请把正确结论的序号都填上）

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11. 如图，平面直角坐标系中，正方形OBAC的顶点A的坐标为（8，8），点D，E分别为边AB，AC上的动点，且不与端点重合，连接OD，OE，分别交对角线BC于点M，N，连接DE，若∠DOE＝45°，以下说法正确的是（填序号）．
①点O到线段DE的距离为8；②△ADE的周长为16；③当DE∥BC时，直线OE的解析式为y＝ $\text{[math]}$ x； ④以三条线段BM，MN，NC为边组成的三角形是直角三角形．

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12. 如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为CD上一动点，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE，交BC于点H，连结AH、HE，AH与BD交于点G，下列结论：①AF=HE，②∠HAE=45°，③BG²+DF²=GF² ， ④△CEH的周长为12，其中正确的结论有。

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13. 如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，E、F为BC、CD边上的点，若∠FAE＝45°，试探究线段BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由.

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14. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45° ，分别连接EF、BD ， BD与AF、AE分别相交于点M、N.

（1）求证：EF=BE+DF.为了证明“EF=BE+DF”，小明延长CB至点G ，使BG=DF ，连接AG ，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程.

（2）若正方形ABCD的边长为6，BE=2，求DF的长.

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15. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，

（1）求证：BE+DF=EF；

（2）若BE=3，DF=2，求AB的长；

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16. 已知如图1，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.

（1）在图l中，连接 $\text{[math]}$ ，为了证明结论“ $\text{[math]}$ ”，小亮将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到图2位置时，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？

（3）如图3，如果四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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17. 如图，点M， $\text{[math]}$ 分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ .

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求正方形 $\text{[math]}$ 的边长.

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18. 正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.

（1）求证：EF=FM

（2）当AE=1时，求EF的长.

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19. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为射线 $\text{[math]}$ 上一动点（点E不与A ， B重合），作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点F ，连接 $\text{[math]}$ ．
　　

（1）如图1，当点E在线段 $\text{[math]}$ 上时，用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系；

（2）如图2，当点E在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，
①依题意补全图2；

②用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

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20. 如图，已知边长为5正方形ABCD中，M、N分别为边BC、DC上的点，连接AM、AN，过N作NH⊥AM于点H，若∠ANH＝45°，连接MN．

（1）证明：BM＝MN-DN；

（2）求点A到MN的距离．

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21. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF=45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．

（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）

（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；

（3）当△CGH是等腰三角形时，求AE的长．

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22. 阅读理解：如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边CD、DA上，且∠EBF=45°，连接EF，则线段AF、CE、EF之间存在着一定的数量关系.

（1）我们可以通过将∆ABF绕点B顺时针旋转90°或者延长EC至点G使得CG=AF并连接BG，这两种方法来判断线段AF、CE、EF之间的数量关系，请你写出它们的数量关系，并完成证明；

（2）延伸拓展：
如图2，四边形ABCD是正方形，∠EBF=45°，交边CD、DA的延长线与点E、F，连接EF，请你直接写出这种情况下线段AF、CE、EF之间的数量关系；

（3）知识运用：
如图3，在平面直角坐标系xOy中，边长为5的正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，现在将正方形绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°），当点C坐标为（x，y），且整数x、y满足xy= $\text{[math]}$ 12时，设直线AB与直线y=x相交于点D，直线BC与y轴相交于点E，请直接写出DE的长度.

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23. 已知，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，它的两边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （或它们的延长线）于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图①，当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ 时，请你直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系：；

（2）如图②，当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 中发现的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．（可利用（2）得到的结论）

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24.
如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．

（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
①求证：△AGE≌△AFE；
②若BE=2，DF=3，求AH的长．

（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

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25. 在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.

（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；

（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF²＝ME²+NF².

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26. 问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系.

（1） [发现证明]
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论.

（2） [类比引申]
如图(2)，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD.

（3） [探究应用]
如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ $\text{[math]}$ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： $\text{[math]}$ =1.41， $\text{[math]}$ =1.73）

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27. 思维探索：
在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°.

（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是；

（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；

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28. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

从正方形的一个顶点引出夹角为 $\text{[math]}$ 的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：

如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 为顶点的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．易证得： $\text{[math]}$ ．

大致证明思路：如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ ，进而可证明 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．

任务：

如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为顶点的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 $\text{[math]}$ 是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．