备考2024年中考数学核心素养专题十六二次函数的动态几何问题

1. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的路径向点C运动.设运动时间为x（单位：s）四边形PBDQ的面积为y（单位： $\text{[math]}$ ），则y与 $\text{[math]}$ 之间的函数图象大致是（）

A . B . C . D .

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2. 某兴趣小组开展综合实践活动：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，动点 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位的速度从 $\text{[math]}$ 点出发，在三角形边上沿 $\text{[math]}$ 匀速运动，到达点 $\text{[math]}$ 时停止，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 由点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，经探究发现 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻 $\text{[math]}$ 对应的正方形DPEF的面积均相等，当 $\text{[math]}$ 时，则正方形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 5

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3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对称轴上的一个动点．连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿折线 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 停止，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 运动的路径长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的对应关系如图所示，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 54 B . 52 C . 50 D . 48

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5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上且在 $\text{[math]}$ 轴的上方，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 面积的最大值是（）

A . 5 B . 4.5 C . 6 D . 4

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6. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，对称轴与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是平面内一动点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ．则线段 $\text{[math]}$ 的最大值是（）．

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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7. 如图，已知抛物线经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ， P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ；②抛物线的最大值为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④OP的最小值为 $\text{[math]}$ ．则正确的结论为（）

A . ①②④ B . ①② C . ①②③ D . ①③④

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8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 6 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，直线l为抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧），过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点A ，作PB∥x轴交抛物线于点B ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则h与m的函数图象大致为（）

A . B . C . D .

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10. 如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动。设点P出发x秒时，△PAQ的面积为ycm² ， y与x的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有（）个
①当点P移动到点A时，点Q移动到点C ②正方形边长为6cm ③当AP=AQ时，△PAQ面积达到最大值④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=−3x+18

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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11. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ， ∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝3，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则AD的长为，BM²+2BN²的最小值是.

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12. 如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）²+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为．

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13. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位的速度沿线段 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 停止，同时动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒4个单位的速度沿折线 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 停止．图2是点 $\text{[math]}$ 运动时， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 与运动时间 $\text{[math]}$ 函数关系的图象，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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14. 抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点D在直线 $\text{[math]}$ 上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线 $\text{[math]}$ 相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为.

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15. 一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为同一抛物线的一部分， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都与水平地面平行，当杯子装满水后 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，液体高度 $\text{[math]}$ ，将杯子绕 $\text{[math]}$ 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 $\text{[math]}$ 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，液面 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 所在水平地面的距离是 $\text{[math]}$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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17. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与一直线相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点N ．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）求直线AC的函数关系式；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

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18. 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.抛物线y=-x²+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D.

（1） ①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值.

（2）若点Р是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图⒉所示）.当点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，其纵坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边向右作正方形 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 设抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值；
$\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ 在抛物线上时，求 $\text{[math]}$ 的值；
$\text{[math]}$ 当抛物线与正方形 $\text{[math]}$ 有两个交点时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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20. 矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与BC边相交于点D ．

（1）若抛物线 $\text{[math]}$ 经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；

（2）若以点A为圆心的 $\text{[math]}$ 与直线OD相切，试求 $\text{[math]}$ 的半径；

（3）设（1）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M ，在对称轴上是否存在点Q ，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由．

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21. 在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ （b、c为常数）的图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ .

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）当 $\text{[math]}$ 时，二次函数 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差为1，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

（3）当 $\text{[math]}$ 时，设二次函数 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式.

（4）点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动，若在坐标平面内有且只有两个点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 为直角三角形，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．

（1）直接写出b，c的值；

（2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作PD⊥PA，交直线l于点D．若PA＝PD，求m的值；

（3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．

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23. 综合运用
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式与顶点 $\text{[math]}$ 坐标；

（2）如图1，在对称轴上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的一个动点，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的横坐标．

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24. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x²+bx+c变形为（x+m）²+n的形式，然后由（x+m）²≥0就可求出多项式x²+bx+c的最小值．
例题：求多项式x²﹣4x+5的最小值．
解：x²﹣4x+5＝x²﹣4x+4+1＝（x﹣2）²+1，
因为（x﹣2）²≥0，所以（x﹣2）²+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）²+1＝1．因此（x﹣2）²+1有最小值，最小值为1，即x²﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

（1）【理解探究】
已知代数式A＝x²+10x+20，则A的最小值为；

（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S_甲和S_乙的大小，并说明理由；

（3）【拓展升华】
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm ， BC＝10cm ，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t ，则当t的值为多少时，△MCN的面积最大，最大值为多少？

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25. 探究函数 $\text{[math]}$ 的图象和性质，探究过程如下：

（1）自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围是全体实数， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组对应值列表如下：

$\text{[math]}$

其中， $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ 根据如表数据，在图 $\text{[math]}$ 所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分 $\text{[math]}$ 观察图象，写出该函数的一条性质；

（2）点 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象上的一动点，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）在图 $\text{[math]}$ 中，当 $\text{[math]}$ 在一切实数范围内时，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左边 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于抛物线顶点的对称点，不平行 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 分别交线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不含端点 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 当直线 $\text{[math]}$ 与抛物线只有一个公共点时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

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26.

（1）【建立模型】如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

（2）【类比迁移】如图 $\text{[math]}$ ，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 、直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
①求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
②求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

（3）【拓展延伸】如图 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标．

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27. 如图 $\text{[math]}$ 注：与图 $\text{[math]}$ 完全相同 $\text{[math]}$ ，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 请在图 $\text{[math]}$ 中探索 $\text{[math]}$ ；

（3）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时从 $\text{[math]}$ 点出发，都以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 秒时， $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线翻折，点 $\text{[math]}$ 恰好落在抛物线上 $\text{[math]}$ 点处，请直接判定此时四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并求出 $\text{[math]}$ 点坐标 $\text{[math]}$ 请在图 $\text{[math]}$ 中探索 $\text{[math]}$ ．

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28. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 位于点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）设动点 $\text{[math]}$ ，求使 $\text{[math]}$ 的值最小时 $\text{[math]}$ 的值；

（3） $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，请你探究：是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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29. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A、B两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点 $\text{[math]}$ 是第四象限内抛物线上一点，连接PB交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，线段CE的长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）如图3，点 $\text{[math]}$ 是第三象限内抛物线上一点，连接PD交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接AD交BP于点 $\text{[math]}$ ，连接MN，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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30. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分别交于 $\text{[math]}$ ， B两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 交于点E ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，过点O作直线 $\text{[math]}$ ，点P ， Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ， Q ，使 $\text{[math]}$ ．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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