人教版初中数学几何辅助线进阶训练——遇角平分线作平行线、轴对称（不含相似八九年级适用）

1. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝30°，AB＝ $\text{[math]}$ ．求BC的长．

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2.
如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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3.
如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A . 11 B . 5.5 C . 7 D . 3.5

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4.
如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P. 若AB＝12，AC＝22，则MP的长为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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5.
如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于．

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6. 如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CE＝1cm，则BF＝ cm.

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7. 如图，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点E在对角线BD上，连接AE.点G是AD延长线上一点，DF平分∠GDC，且DF=BE，连接FB、FC，FB与AC交于点M.

（1）若点E是BD的三等分点（DE＜BE），BF= $\text{[math]}$ ，求△ABE的面积；

（2）求证：DE=2CM.

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8. 如图，在等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是底边 $\text{[math]}$ 上的高，在 $\text{[math]}$ 的延长线上有一个动点D，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E， $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 边于点F，则在点D运动的过程中，线段 $\text{[math]}$ 的最小值（）

A . 6 B . 4 C . 3 D . 2

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的一点，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的中点，求证： $\text{[math]}$ ．

（2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
①如图2，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的任意一点，求证： $\text{[math]}$ ；

②若点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

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11.
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线，若A点到直线BD的距离为a，则BE的长为

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12. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD $\text{[math]}$ ，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为．

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13. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的角平分线分别交 $\text{[math]}$ 于点E和F，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（）

A . 12 B . 20 C . 24 D . 30

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15. 如图，在▱ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为.

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16. 如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，当点F是CD的中点时，若AB＝4，则BC＝.

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17. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，已知正方形边长为4，则EF的长为 .

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18. 在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG.

（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；

（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE.

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19. 如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点P在边CD上，且PC平分∠BPD，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交BP于点F，过点M作ME⊥CP于E.则EF＝.

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20. 正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2 $\text{[math]}$ ，AE=8，则ED=．

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21. 如图， $\text{[math]}$ ，OC是 $\text{[math]}$ 的平分线，点E，M分别在射线OA，OC上，作射线ME，以M为中心，将射线ME逆时针旋转60度，交OB所在的直线于F，

（1）按要求画图，并完成证明；过点M作MH//OA，交射线OB于H，求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形；

（2）当点F落在射线OB上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系；

（3）当点F落在射线OB反向延长线上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系；

（4）点G是射线OA上一点，且满足OG=8，若MG=7，OF=1.5，请直接写出OE的长；

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22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3 $\text{[math]}$ ， AC=4 $\text{[math]}$ ， ∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是，△CDE的周长是.

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23. 如图1，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB的延长线于F，以BE、BF为邻边作▱EBFH．

（1）证明：▱EBFH是菱形；

（2）（如图2）若∠ABC＝90°．
①直接写出四边形EBHF的形状；

②已知AB＝10，AD＝6，M是EF的中点，求CM的长．

（3）（如图3）若∠ABC＝60°，连结HA、HB、HC、AC，求证：△ACH是等边三角形．

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24. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，若AC=6，BC=8，则MN=.

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25. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是其外角 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线，点E在射线 $\text{[math]}$ 上，点F在射线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ .

（1）求证：以线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为三边组成的三角形是直角三角形；

（2）若 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

（3）当 $\text{[math]}$ 时，请求出 $\text{[math]}$ 的值.

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26. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．

（1）若OF＝5，求FH的长；

（2）求证：BF＝OH+CF．

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27. 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， $\text{[math]}$ ，EP与正方形的外角 $\text{[math]}$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接CP，可以求出 $\text{[math]}$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．当 $\text{[math]}$ 时，请你求出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．

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28. 数学课上林老师出示了问题：如图，AD∥BC，∠AEF=90°AD=AB=BC=DC，∠B=90°，点E是边BC的中点，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
同学们作了一步又一步的研究：

（1）、经过思考，小明展示了一种解题思路：如图1，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）、小颖提出一个新的想法：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（3）、小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

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29.
探究题
【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

（1）【探究展示】

直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；

（2）【拓展延伸】

AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

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30. 如图1．在边长为10的正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上移动（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）， $\text{[math]}$ 的垂直平分线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将正方形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠，则点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）随着点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上位置的变化， $\text{[math]}$ 的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出 $\text{[math]}$ 的度数；

（3）随着点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上位置的变化，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上位置也发生变化，若点 $\text{[math]}$ 恰好为 $\text{[math]}$ 的中点（如图2），求 $\text{[math]}$ 的长．

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