解：①证明：如图2，连接

A D

．

则 $Δ A B C$ 的面积 $= Δ A B D$ 的面积 $+ Δ A C D$ 的面积，

即 $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot D E + \frac{1}{2} \cdot A C \cdot D F = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B G$ ，

$∵ A B = A C$ ，

$∴ D E + D F = B G$ ；

②如图3，连接 $A D$ ，过点 $A$ 作 $A H ⊥ B C$ 于点 $H$ ．

$∵ Δ A B C$ 的面积 $= Δ A B D$ 的面积 $- Δ A C D$ 的面积，

$∴$ $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot D E - \frac{1}{2} \cdot A C \cdot D F = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B G$ ，

$∵ A B = A C$ ，

$∴ D E - D F = B G$ ，

$∵ A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， $A H ⊥ B C$ ，

$∴ B H = C H = 3$ ，

$∴ A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ ，

$∵$ $\frac{1}{2} \cdot A C \cdot B G = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A C$ ，

$∴ B G = \frac{24}{5}$ ，

$∴ D E = D F + B G = 2 + \frac{24}{5} = \frac{34}{5}$ ．

人教版初中数学几何辅助线进阶训练——遇角平分线作平行线、轴对称（不含相似八九年级适用）