备考2023年中考数学嘉兴卷变式阶梯训练：第21题

1. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．

（1）连结DE，求线段DE的长．

（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

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2. 如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED=60°，∠BED=45°．小明的观测点与地面的距离EF为1.6米．

（1）求建筑物BC的高度；

（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.41， $\text{[math]}$ ≈1.73．

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3. 图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆 $\text{[math]}$ ，可绕支点C，B调节角度，DE为手机的支撑面， $\text{[math]}$ ，支点A为DE的中点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）若支杆BC与桌面的夹角 $\text{[math]}$ ，求支点B到桌面的距离；

（2）在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角 $\text{[math]}$ ，求支撑面下端E到桌面的距离．（结果精确到1cm，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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4. 如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点 $\text{[math]}$ 在书架底部，顶点 $\text{[math]}$ 靠在书架右侧，顶点 $\text{[math]}$ 靠在档案盒上，若书架内侧长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，档案盒长度 $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）求点 $\text{[math]}$ 到书架底部距离 $\text{[math]}$ 的长度；

（2）求 $\text{[math]}$ 长度；

（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．

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5. 倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态.嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为 $\text{[math]}$ ，图2是该自行车的车架示意图，立管 $\text{[math]}$ ，上管 $\text{[math]}$ ，且它们互相垂直，座管 $\text{[math]}$ 可以伸缩，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上，且 $\text{[math]}$ .

（1）求下管 $\text{[math]}$ 的长；

（2）若后下叉 $\text{[math]}$ 与地面平行，座管 $\text{[math]}$ 伸长到 $\text{[math]}$ ，求座垫 $\text{[math]}$ 离地面的距离.
$\text{[math]}$ 结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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6. 图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．

（1）求点M到地面的距离；

（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由，（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.73，结果精确到0.01米）

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7. 如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB=8mm，两脚BC=BD=56mm，如图2所示．当∠CBD=74°时：

（1）求A离纸面CD的距离．

（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）

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8. 如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C，B之间选择一点D(C，D，B三点共线)，测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD＝8m.(参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.414； $\text{[math]}$ ≈1.732； $\text{[math]}$ ≈2.236.)

（1）求点D到CA的距离(结果保留根号).

（2）求旗杆AB的高(结果精确到0.01m).

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9. 如图是一种单人网球训练器示意图，横杆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D表示网球的位置，横杆可绕点A旋转，通过旋转横杆，调节网球的高度，从而适应不同高度的人进行训练.现旋转AB，将点B旋转至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）求横杆端点B的运动路径长.（结果精确到0.01m）

（2）求网球上升的高度.（结果精确到0.01m）

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10. 我们知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图1所示，将图1中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且BD与桌沿的交点记为点C
参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，．tan53°≈1.33， $\text{[math]}$ ≈1.41， $\text{[math]}$ ≈1.73）

（1）若∠ADB＝53°，∠B＝60°，求A到BD的距离及C、D两点间的距离（结果精确到1cm）．

（2）老师发现小红同学写字姿势不正确，眼睛倾斜至图2的点E，点E正好在CD的垂直平分线上，且∠BDE＝60°，于是要求其纠正为正确的姿势．求眼睛所在的位置应上升的距离．（结果精确到1cm）

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11. 据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过50km/h.如图，在一条笔直公路l的上方A处有一深测仪，AD⊥l于D，AD=32m，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=28°，2秒后到达C点，测得∠ACD=45°（sin28°≈ $\text{[math]}$ ， cos28°≈ $\text{[math]}$ ， tan28°≈ $\text{[math]}$ ）

（1）求CD，BD的长度.

（2）通过计算，判断此轿车是否超速.

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12. 如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC.当伞收紧时，点D与点M重合，且点A，E（F），D在同一条直线上.已知伞骨的部分长度如下（单位：cm）：DE=DF=AE=AF=40.

（1）求AM的长.

（2）当伞撑开时，量得∠BAC=110°，求AD的长.（结果精确到1cm）
参考数据： $\text{[math]}$ .

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13. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°.

（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）

（1）求车位锁的底盒长BC.

（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?

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14. 已知，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂 $\text{[math]}$ 可伸缩（ $\text{[math]}$ ），且起重臂 $\text{[math]}$ 可绕点 $\text{[math]}$ 在一定范围内转动，张角为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），转动点 $\text{[math]}$ 距离地面 $\text{[math]}$ 的高度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ .

（1）当起重臂 $\text{[math]}$ 长度为 $\text{[math]}$ ，张角 $\text{[math]}$ 为120°时，求云梯消防车最高点 $\text{[math]}$ 距离地面的高度 $\text{[math]}$ ；

（2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为 $\text{[math]}$ ，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据： $\text{[math]}$ ）

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15. 我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示.已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m.海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m.

（参考数据：sin37°＝co553° $\text{[math]}$ ，cos37°＝sin53° $\text{[math]}$ ，tan37° $\text{[math]}$ ，sin22° $\text{[math]}$ ，cos22° $\text{[math]}$ ，tan22° $\text{[math]}$ ）

（1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度.求点B到海面HC的距离；

（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面.求点O到岸边DH的距离.

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16. 图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知 $\text{[math]}$ ，木架 $\text{[math]}$ ．弹绳在自然状态时，点A，E，D在同一直线上，按压点F旋转至点 $\text{[math]}$ ，抛杆 $\text{[math]}$ 绕点A旋转至 $\text{[math]}$ ，弹绳 $\text{[math]}$ 随之拉伸至 $\text{[math]}$ '，测得 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数．

（2）求 $\text{[math]}$ 的长度，

（3）求点E转至点 $\text{[math]}$ 的过程中，点E垂直上升的高度．

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17. 如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，支架 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，桌面 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 固定在支架 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 宽为 $\text{[math]}$ .身高为 $\text{[math]}$ 的使用者 $\text{[math]}$ 站立处点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在同一条直线上， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离是视线距离.

（1）如图2，当EF $\text{[math]}$ AB， $\text{[math]}$ 时，求视线距离 $\text{[math]}$ 的长；

（2）如图3，使用者坐下时，高度 $\text{[math]}$ 下降 $\text{[math]}$ ，当桌面 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，恰有视线NF $\text{[math]}$ AB，问需要将支架 $\text{[math]}$ 调整到多少 $\text{[math]}$ ?（参考数据： $\text{[math]}$ ）

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18. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面.新桌面的设计图如图1， AB可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD， $\text{[math]}$ .

（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）如图2，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求支撑臂 $\text{[math]}$ 的长；

（2）如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.（结果保留根号）

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19. 图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直.胳膊 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为 $\text{[math]}$ .在图2中若 $\text{[math]}$ ，张阿姨与测温员之间的距离为48cm.问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由.（结果保留小数点后两位.参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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20. 为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测.某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）.

（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；

（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由.
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， $\text{[math]}$ ）

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21. 你还记得小时候的竹椅子么？一款老式竹编靠背椅的尺寸如图1（单位： $\text{[math]}$ ），如图2是它的侧面示意图，坐高 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ，背长 $\text{[math]}$ ，总高 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值.

（2）现需特制一款椅子，保持总高不变，现要求靠背的倾斜角从 $\text{[math]}$ 调整为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，则将横档 $\text{[math]}$ 长度保持不变直接向下调整多少厘米即可？
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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22. 图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，始终与平台l垂直，连杆BC长度为60cm，机械臂CD长度为40cm，点B，C是转动点，AB，BC与CD始终在同一平面内，张角∠ABC可在60°与120°之间（可以达到60°和120°）变化，CD可以绕点C任意转动.

（1）转动连杆BC，机械臂CD，使张角∠ABC最大，且CD∥AB，如图2，求机械臂臂端D到操作台l的距离DE的长.

（2）转动连杆BC，机械臂CD，要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M，则物体M离底座A的最远距离和最近距离分别是多少？

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23. 为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速.如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°.（A、B、P、Q在同一平面内）

（1）求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

（2）求路段AB的长；（ $\text{[math]}$ ≈1.7，结果保留整数）

（3）如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒.该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？

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24. 测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥 $\text{[math]}$ ，点O是正方形 $\text{[math]}$ 的中心 $\text{[math]}$ 垂直于地面，是正四棱锥 $\text{[math]}$ 的高，泰勒斯借助太阳光.测量金字塔影子 $\text{[math]}$ 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量.甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥 $\text{[math]}$ 表示.

（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，金字塔甲的影子是 $\text{[math]}$ ，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为m.

（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形 $\text{[math]}$ 边长为 $\text{[math]}$ ，金字塔乙的影子是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度.

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备考2023年中考数学嘉兴卷变式阶梯训练：第21题

一、原题

二、基础

三、进阶

四、突破

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