高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量的应用表示同步练习

1. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是C₁D₁的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面ABC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为AB的中点， $\text{[math]}$ ，则点D到面 $\text{[math]}$ 的距离等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆 $\text{[math]}$ 的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆 $\text{[math]}$ 的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（）（单位：cm）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，点 $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 所在平面外一点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为等边三角形，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，顶点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 的射影为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 棱 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大值是2 D . 存在 $\text{[math]}$ 的值使得点 $\text{[math]}$ 到面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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7. 如图，正三角形 $\text{[math]}$ 与正三角形 $\text{[math]}$ 所在平面互相垂直，则二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角正弦值的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图是长方体的平面展开图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则在该长方体中（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面 B . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行 C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的距离为3 D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$

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10. 正方体 $\text{[math]}$ ，的棱长为4，已知 $\text{[math]}$ 平面α ， $\text{[math]}$ ，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）

A . α截得的截面形状可能为正三角形 B . $\text{[math]}$ 与截面α所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . α截得的截面形状可能为正六边形 D . β截得的截面形状可能为正方形

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11. 如图，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点.（）

A . 当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交时，交点一定在直线 $\text{[math]}$ 上 B . 当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 异面时， $\text{[math]}$ 可能与 $\text{[math]}$ 平行 C . 当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点共面且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点重合时，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不可能相交

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12. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（）

A . 存在某个位置，使得 $\text{[math]}$ B . 存在某个位置，使得 $\text{[math]}$ C . 存在某个位置，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点落在半径为 $\text{[math]}$ 的球面上 D . 存在某个位置，使得点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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13. 已知球 $\text{[math]}$ 是三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为.

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14. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为锐角），则当 $\text{[math]}$ 取最小值时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为.

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15. 如图，在棱长为4的正方体 $\text{[math]}$ 中，M是棱 $\text{[math]}$ 上的动点，N是棱 $\text{[math]}$ 的中点.当平面 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角最小时， $\text{[math]}$ .

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16. 三棱锥P-ABC中，PA ， PB ， PC两两垂直， $\text{[math]}$ ，点Q为平面ABC内的动点，且满足 $\text{[math]}$ ，记直线PQ与直线AB的所成角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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17. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，BD平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

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19. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为面 $\text{[math]}$ 内的一点．

（1）画出图1中平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线；

（2）如图2，若 $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 对角线的交点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

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20. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的三等分点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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21. 如图，长方体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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22. 已知在六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为菱形，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，试问：在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ？若存在，确定点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量的应用表示同步练习

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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