山东省济南市实验中学2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：236 类型：期中考试编辑

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一、单选题

1. 若复数z满足： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . -1 B . 0 C . $\text{[math]}$ D . 1

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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3. 已知平面内一点P及△ABC，若 $\text{[math]}$ ，则P与△ABC的位置关系是（）

A . P在△ABC外部 B . P在线段AB上 C . P在线段AC上 D . P在线段BC上

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4. 已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是（）

A . 5 B . 2 C . 7 D . 3

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5. 半径为 $\text{[math]}$ 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=1，则C的范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知复数3–2i是关于x的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则实数m，n的值分别为（）

A . 6，5 B . 12，10 C . 12，26 D . 24，26

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8. 《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的灿筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为 $\text{[math]}$ ，“刍甍”的体积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则“方亭”的上､下底面边长之比为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 欧拉公式 $\text{[math]}$ (其中i为虚数单位， $\text{[math]}$ )，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项能确的是（）

A . 复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于第三象限 B . $\text{[math]}$ 为纯虚数 C . $\text{[math]}$ 的共轭复数为 $\text{[math]}$ ； D . 复数 $\text{[math]}$ 的模长等于 $\text{[math]}$

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10. 在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD= $\text{[math]}$ ，E，F分别为CD，BC的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. $\text{[math]}$ 内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值是4 B . $\text{[math]}$ 的最大值是4 C . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是与 $\text{[math]}$ 方向相同的单位向量，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为.

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14. 如图所示，在所有棱长均为1的直三核柱 $\text{[math]}$ 上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行两周到达点A₁ ，则爬行的最短路程为.

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15. 如图，从气球 $\text{[math]}$ 上测得正前方的河流的两岸 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是 $\text{[math]}$ ，则河流的宽度 $\text{[math]}$ 等于.

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16. 球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A，B，C是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB，BC，CA，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC.已知地球半径为R，北极为点N，P､Q是地球表面上的两点.

①若P，Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ的面积为.②若 $\text{[math]}$ ，则球面 $\text{[math]}$ 的面积.

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四、解答题

17. m为何实数时，复数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 在复平面内所对应的点（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）位于第四象限．

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18. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 绕直线 $\text{[math]}$ 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

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19. 在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=2 $\text{[math]}$ ，对角线AC与BD交于点E；E是BD的中点，且 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求cos∠AED的值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求BD的长.

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20. 已知 $\text{[math]}$ 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $\text{[math]}$ .

（1）求A；

（2）从下列条件中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 中任选一个作为已知条件，求 $\text{[math]}$ 周长的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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21. 已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值.

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22. 如图所示，某地有一块空地△OAB，其中OA=300米，∠AOB=90°，∠OAM=60°.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网.

（1）当AM=150米时，求防护网的总长度；

（2）若∠AOM=15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？

（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？

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