湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期数学期末联考试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . -1 C . 1 D . 0

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3. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知a，b都是实数，那么“ $\text{[math]}$ ”是“方程 $\text{[math]}$ 表示圆”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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6. 贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（）

A . 8 B . 1680 C . 140 D . 70

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7. 设等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，首项 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，若存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等差数列，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 16 B . 12 C . 8 D . 6

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8. 设 $\text{[math]}$ 是定义在R上的偶函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .若对任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . $\text{[math]}$

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9. 关于双曲线 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 该双曲线与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的渐近线 B . 过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则满足条件的直线只有一条 C . 若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的两支各有一个交点，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ D . 过点 $\text{[math]}$ 能作4条直线与双曲线 $\text{[math]}$ 仅有一个交点

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10. 如图所示，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 在侧面 $\text{[math]}$ （含边界）上运动，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角余弦值为 $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ （异于点 $\text{[math]}$ ），使得 $\text{[math]}$ 四点共面. C . 存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 距离与到点 $\text{[math]}$ 的距离相等，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹是抛物线的一部分

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11. 对于给定的 $\text{[math]}$ ，其外心为 $\text{[math]}$ ，重心为 $\text{[math]}$ ，垂心为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线

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12. 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图象恰有三个交点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是直角三角形，则（）

A . $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 两函数的图象必在 $\text{[math]}$ 处有交点 D . $\text{[math]}$

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13. 在二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中，各项系数之和为 $\text{[math]}$ ，各项二项式系数之和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则展开式中常数项为．

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14. 若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为 $\text{[math]}$ ，圆台上、下底面圆的半径分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知△ABC的顶点坐标分别为 $\text{[math]}$ ，则内角 $\text{[math]}$ 的角平分线所在直线方程为.

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16. 若 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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17. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；

（2）若对 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ 成立，且 ▲ ，求△ABC面积的最大值.
在下列四个条件中，任选2个补充到上面问题中，并完成求解.其中 $\text{[math]}$ 为△ABC的三个内角 $\text{[math]}$ 所对的边.①△ABC的外接圆直径为4；② $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 截圆O： $\text{[math]}$ 所得的弦长；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）证明：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；

（2）记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项的和，求证： $\text{[math]}$ .

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19. 如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（2）在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 所在的位置；若不存在，请说明理由.

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20. 有治疗某种疾病的 $\text{[math]}$ 两种药物，为了分析药物的康复效果进行了如下随机抽样调查： $\text{[math]}$ 两种药物各有100位病人服用，他们服用药物后的康复时间（单位：天数）及人数记录如下：

服用 $\text{[math]}$ 药物：

康复时间	10	11	12	13	14	15	16
人数	9	14	16	15	16	18	12

服用 $\text{[math]}$ 药物：

康复时间	12	13	14	15	16	17	$\text{[math]}$
人数	11	15	14	16	18	16	10

假设所有病人的康复时间相互独立，所有病人服用药物后均康复.

（1）若康复时间低于15天（不含15天），记该种药物对某病人为“速效药物”.当 $\text{[math]}$ 时，请完成下列 $\text{[math]}$ 列联表，并判断是否有99%的把握认为病人服用药物 $\text{[math]}$ 比服用药物 $\text{[math]}$ 更速效？

	速效人数	非速效人数	合计
服用A药物
服用B药物
合计

（2）分别从服用 $\text{[math]}$ 药物康复时间不同的人中，每种康复时间中各取一人，记服用 $\text{[math]}$ 药物的7人为Ⅰ组，服用 $\text{[math]}$ 药物的7人为Ⅱ组.现从Ⅰ、Ⅱ两组中随机各选一人，分别记为甲、乙.

① $\text{[math]}$ 为何值时，Ⅰ、Ⅱ两组人康复时间的方差相等（不用说明理由）；

②在①成立且 $\text{[math]}$ 的条件下，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.

参考数据：

P(K²≥k₀)	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

参考公式： $\text{[math]}$ ，其中n＝a＋b＋c＋d.

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21. 已知在平面直角坐标系中，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的圆心为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 任作直线 $\text{[math]}$ 交圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作与 $\text{[math]}$ 平行的直线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（1）求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

（2）设动点 $\text{[math]}$ 的轨迹与 $\text{[math]}$ 轴正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的两直线交动点 $\text{[math]}$ 的轨迹于 $\text{[math]}$ 两点（异于点 $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个正实数根 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .

（1）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）求证： $\text{[math]}$ .

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湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期数学期末联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期数学期末联考试卷

一、单选题

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