湖南省益阳市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

1. 已知 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 9 C . 18 D . 24

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2. 命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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3. 如图，在半径为2的圆中进行随机撒一粒黄豆的重复实验，在1000次实验中，黄豆有280次落到了阴影部分中，将频率视为概率，依此估计阴影部分的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在 $\text{[math]}$ 内的频数为（）

A . 68 B . 170 C . 204 D . 240

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5. 若 $\text{[math]}$ 是第二象限的角， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则p是q的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的部分图像如图所示，则 $\text{[math]}$ 的解析式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为C上一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是奇函数 B . $\text{[math]}$ 是偶函数 C . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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10. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列不等式成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，它的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . C的虚轴长为4 B . C的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . C上的任意点P都满足 $\text{[math]}$ D . C的一个顶点与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点重合

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12. 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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13. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到准线的距离为 $\text{[math]}$ ，则a的值为．

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14. 现有编号为A、B、C、D的四本书，将这四本书平均分给甲、乙两位同学，则A，B两本书被同一位同学分到的概率为．

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15. 已知实数x，y满足不等式组 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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16. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M是 $\text{[math]}$ 所在平面上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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17. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的最小正周期；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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18. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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19. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答．
问题：已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

（1）求A；

（2）若 ▲ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

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20. 随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用越来越多，每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫，已知某种药用昆虫的产卵数y（单位：个）与一定范围内的温度x（单位：℃）有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：

日期	2日	7日	15日	22日	30日
温度x	10	11	13	12	8
产卵数y	23	25	30	26	16

参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）从这5天中任选2天，记这2天的药用昆虫的产卵数分别为m，n，求事件“m，n均不小于26”的概率；

（2）科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验；

①若选取的是3月2日和30日这两组数据，请根据7日、15日、22日这3组数据求出y关于x的线性回归方程；

②若由线性回归方程得到的估计产卵数与所选出的检验数据的误差不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的．按照此标准①中得到的线性回归方程是否可靠？说明理由．

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21. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，公比 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）记 $\text{[math]}$ ，是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求C的方程；

（2）设点M为C上的动点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）与C交于P，Q两点，PQ的中点为E，若 $\text{[math]}$ ，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标．

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湖南省益阳市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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