江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，设复数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则a+b的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（）

A . 20种 B . 50种 C . 80种 D . 100种

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4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（）

A . 80里 B . 86里 C . 90里 D . 96里

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5. 若正数 $\text{[math]}$ 是一个不等于1的常数，则函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 在同一个坐标系中的图象可能是（）

A . B . C . D .

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6. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ 及圆 $\text{[math]}$ 内的一点 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 的过点 $\text{[math]}$ 的直径为 $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的所有过点 $\text{[math]}$ 的弦中最短的弦，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 8 B . 16 C . 4 D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的函数， $\text{[math]}$ ．若函数 $\text{[math]}$ 满足下列条件：① $\text{[math]}$ 是偶函数；② $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是增函数；③ $\text{[math]}$ 有一个零点为2，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，为了使方程 $\text{[math]}$ 表示准线垂直于 $\text{[math]}$ 轴的圆锥曲线，实数 $\text{[math]}$ 的取值范围可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 若将函数 $\text{[math]}$ 的图象上所有的点向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则实数 $\text{[math]}$ 的值可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为2 C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设常数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对于二项式 $\text{[math]}$ 的展开式，下列结论中，正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则各项系数随着项数增加而减小 B . 若各项系数随着项数增加而增大，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则第7项的系数最大 D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则所有奇数项系数和为239

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13. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 作斜率为1的直线，与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．若弦 $\text{[math]}$ 的长为6，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为 $\text{[math]}$ ，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是元．（四舍五入，精确到整数）

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15. 数学家研究发现，对于任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数 $\text{[math]}$ ，可以用这个展开式来求 $\text{[math]}$ 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ ，气球的视角 $\text{[math]}$ ，则该气球的高 $\text{[math]}$ 约为米．（精确到1米）

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16. 如图所示，多面体 $\text{[math]}$ 中对角面 $\text{[math]}$ 是边长为6的正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离都是3，则该多面体的体积为.

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17. 设函数 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期和值域；

（2）在锐角 $\text{[math]}$ 中，设角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的取值范围．

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18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的 ▲ 处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）
设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ ，都有▲ ；等比数列 $\text{[math]}$ 中，对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，问：是否存在 $\text{[math]}$ ，使得：对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ？若存在，试求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，试说明理由．

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19. 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是侧棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）求棱 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．

	未感冒	感冒
使用血清	17	3
未使用血清	14	6

附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：

		Ⅱ
		类1	类2
Ⅰ	类A	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
Ⅰ	类B	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

有 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

临界值表（部分）为

$\text{[math]}$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	0.445	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为 $\text{[math]}$ ，试写出 $\text{[math]}$ 的分布列；

（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．

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21. 设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上且满足下列条件的函数 $\text{[math]}$ 构成的集合：
①方程 $\text{[math]}$ 有实数解；

②函数 $\text{[math]}$ 的导数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）试判断函数 $\text{[math]}$ 是否集合 $\text{[math]}$ 的元素，并说明理由；

（2）若集合 $\text{[math]}$ 中的元素 $\text{[math]}$ 具有下面的性质：对于任意的区间 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，使得等式 $\text{[math]}$ 成立，证明：方程 $\text{[math]}$ 有唯一实数解．

（3）设 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的实数解，求证：对于函数 $\text{[math]}$ 任意的 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有共同的中心和准线，且双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线被椭圆 $\text{[math]}$ 截得的弦长为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若过点 $\text{[math]}$ 存在两条互相垂直的直线都与椭圆 $\text{[math]}$ 有公共点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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