如图，⊙ O 是 ΔABC 的外接圆， ∠ABC=45° ， OC//AD ， AD 交 BC 的延长线于点 D ， AB 交 OC 于点 E .

题型：综合题题类：常考题难易度：普通

江苏省苏州市2019届九年级上学期数学第一次月考试卷

如图，⊙ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（1）、求证： $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的切线；

（2）、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求⊙ $\text{[math]}$ 的半径和线段 $\text{[math]}$ 的长.

举一反三

如图，AB⊥CD，∠BAD＝30°，则∠AEC的度数等于（）

如图，在直角坐标系中，经过点A（0，2），B（2，0）和原点O（0，0）三点作⊙C，点P为⊙C上任一点（点P与点O、B不重合），则∠OPB的度数为（）

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为{#blank#}1{#/blank#}.

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为{#blank#}1{#/blank#}．

锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的高线， $\text{[math]}$ ，两动点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上滑动，且 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边向下作正方形 $\text{[math]}$ （如图1），设其边长为 $\text{[math]}$ .

【探究】如图，三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）如图甲，连接 $\text{[math]}$ 并延长至点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 过圆心 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

（2）如图乙，当三角形 $\text{[math]}$ 是等边三角形，求证： $\text{[math]}$ ．小明发现，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，通过证明 $\text{[math]}$ ，可推得 $\text{[math]}$ 是等边三角形，进而得证．请你帮小明补全证明过程；

【应用】

（3）如图丙， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的两侧，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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