如图 - 二一组卷

题型：综合题题类：真题难易度：普通

山东省东营市2018年中考数学试卷

如图

（1）、某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO= $\text{[math]}$ ，BO：CO=1：3，求AB的长．

经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．

请回答：∠ADB=°，AB=．

（2）、请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO= $\text{[math]}$ ，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．

举一反三

如图所示方格纸中的三角形是（　　）

如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD＝30°；②S_▱ABCD＝AC•BC；③OE：AC＝ $\text{[math]}$ ：6； ④S_▱OEF＝ $\text{[math]}$ S_▱ABCD ，成立的是{#blank#}1{#/blank#}．

本学期，我们已经学习过平面直角坐标系的概念，其中 $\text{[math]}$ 轴与 $\text{[math]}$ 轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点 $\text{[math]}$ 逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点 $\text{[math]}$ 在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点 $\text{[math]}$ 在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图象仍然保持原状．

【初步探究】

（1）已知在原平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中有一点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 轴绕原点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 轴绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到“动感坐标系”．则点 $\text{[math]}$ 的动感坐标为______．

（2）在原平面直角坐标系中，设有一点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 轴绕原点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴绕原点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 轴．在 $\text{[math]}$ 轴上有一点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 轴上有一点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一条水平线上．当点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 之间的距离最小时，求点 $\text{[math]}$ 的动感坐标．

【类比猜想】

根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质．

【深入探索】

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ，且两条直线关于 $\text{[math]}$ 轴成轴对称．设 $\text{[math]}$ 三角平分线与对边的交点为 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 轴绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴绕原点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后刚好经过点 $\text{[math]}$ ．求点 $\text{[math]}$ 的动感坐标以及 $\text{[math]}$ 的值（点 $\text{[math]}$ 不与原点 $\text{[math]}$ 重合）．